скаляр,
b
?
L
i
— левый делитель нуля максимального ранга вектора
b
i
,
i
= 1
,
(
r
−
1)
.
Доказательство теоремы 3.2 осуществляется аналогичным обра-
зом, как это сделано в [2] для леммы 1
5
.
Введем обозначение
˜
A
=
A
+ b
1
f
T
1
+ b
2
f
T
2
+
∙ ∙ ∙
+ b
r
−
1
f
T
r
−
1
,
(39)
det
λI
n
−
˜
A
=
λ
n
+ ˜
α
n
−
1
λ
n
−
1
+
∙ ∙ ∙
+ ˜
α
1
λ
+ ˜
α
0
.
(40)
На основании справедливости леммы 3 справедлива лемма [13].
Лемма 4.
Для линейной полностью управляемой MIMO-системы
(36) закон обратной связи (2), обеспечивающий замкнутой систе-
ме х.п.
det
λI
n
−
˜
A
+ b
r
f
T
=
λ
n
+
_
α
n
−
1
λ
n
−
1
+
∙ ∙ ∙
+
_
α
1
λ
+
_
α
0
,
(41)
определяется формулой
F
=
˜
F
Δ
α
˜
K
−
1
Υ
!
,
(42)
где
˜
F
=
Θ
T
1
b
?
L
1
(
ω
1
I
n
−
A
)
Θ
T
2
b
?
L
2
(
ω
2
I
n
−
A
)
...
Θ
T
r
−
1
b
?
L
r
−
1
(
ω
r
−
1
I
n
−
A
)
,
(43)
˜
K
Υ
= ˜Υ
n
˜Υ
n
−
1
∙ ∙ ∙
˜Υ
2
˜Υ
1
,
(44)
˜Υ
T
1
˜Υ
T
2
∙ ∙ ∙
˜Υ
T
n
−
1
b
T
T
=
=
0
T
I
n
b
?
L
r
−
I
n
0
T
b
?
L
r
˜
A
?
R
.
(45)
При этом параметризация всех регуляторов (42), обеспечивающих
характеристический полином (41), осуществляется путем замены в
расчетных соотношениях вектора
b
r
на любой другой вектор
b
i
из
(37), варьирования элементов векторов
Θ
T
i
и скаляров
ω
i
в (43).
Теперь можно сформулировать обобщение теоремы (аналога) Ван
дер Воуда на случай MIMO-системы.
Теорема 4 (обобщение теоремы Ван дер Воуда)
.
Для полностью
управляемой линейной MIMO-системы (1) существует такой вектор
k
2
R
m
, что обеспечивается полином
5
См. также [1, С. 183–185].
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 4 11
