Аналог теоремы Ван дер Воуда.
Предваряя предлагаемый нами
аналог теоремы Ван дер Воуда, введем необходимые в дальнейшем
леммы [11].
Лемма 1
.
Линейное матричное уравнение
XV
=
Q, V
2
R
n
2
×
n
3
, Q
2
R
n
1
×
n
3
(28)
разрешимо относительно матрицы
X
2
R
n
1
×
n
2
тогда и только то-
гда, когда правый делитель нуля максимального ранга
3
V
?
R
является
и правым делителем нуля матрицы
Q
:
QV
?
R
= 0
.
(29)
Лемма 2
.
Все множество решений матричного уравнения (28) при
выполнении условия разрешимости
(29)
определяется формулой
(
с ми-
нимальной параметризацией
)
X
=
QV
+
+
ηV
?
L
,
(30)
где
V
+
— псевдообратная матрица,
η
— произвольная матрица
подходящего размера.
Справедливы утверждения.
Теорема 1 (аналог теоремы Ван дер Воуда)
.
Для полностью
управляемой линейной SIMO-системы (4) существует такой вектор
k
2
R
m
, что обеспечивается полином (12), если и только если
Δ
α
T
K
−
1
Υ
C
?
R
= 0
.
(31)
Доказательство теоремы 1
. Если х.п. (12) задан, тогда вектор
C
T
k
2
R
m
должен удовлетворять формуле (26), т.е.
k
T
C
= Δ
α
T
K
−
1
Υ
,
(32)
где неизвестным считается вектор
k
2
R
m
. Рассматривая (32) как
линейное матричное уравнение (28) согласно лемме 1 (см. (29)), полу-
чаем условие разрешимости (31), но это и есть условие теоремы Ван
дер Воуда (13)
4
.
Доказательство закончено.
Теорема 2
.
Если для полностью управляемой линейной SIMO-
системы (4) существует такой вектор
k
2
R
m
, что обеспечивается
полином (12), то
k
T
= Δ
α
T
K
−
1
Υ
C
+
.
(33)
Доказательство теоремы 2
. Если условие (32) выполняется, тогда
в соответствии с леммой 2 (см. (30)) получаем решение (33), где в
силу полноты ранга матрицы
C
составляющая решения
ηC
?
L
= 0
.
3
Если рассматривать делители нуля не максимального ранга, то условие также
становится только необходимым.
4
См. доказательство теоремы Ван дер Воуда в [1, С. 192–195].
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 4 9
