а
)
(
A, B
)
,
(
A,
b)
— управляемые пары;
б
) матрицы управляемости Калмана
B AB A
2
B . . . A
n
−
r
B ,
b
A
b
A
2
b
. . . A
n
−
r
b
(9)
имеют полный ранг по строкам;
в
) обобщенные матричные пучки
λ
i
I
n
−
A B ,
λ
i
I
n
−
A
b
(10)
имеют полный ранг для всех
λ
i
2
Λ(
A
)
;
г
) собственные значения матриц
A
−
BF
и
A
−
bf
T
могут быть
заданы произвольным образом и непрерывно зависят от матриц регу-
ляторов
F
в законе (2) и
f
T
в законе (5).
Аналогичные утверждения с учетом дуальности справедливы для
наблюдаемости линейных систем (1) и (4).
Ключевым утверждением при решении задачи управления спек-
тром матрицы [1] с помощью стабилизирующего закона (6) является
теорема Ван дер Воуда.
Теорема
(Van der Woude [6]).
Пусть линейная SIMO-система (4)
при
σ
x(
t
) = ˙x(
t
)
полностью управляемая и
f
(
λ
) =
λ
n
+
_
α
n
−
1
λ
n
−
1
+
∙ ∙ ∙
+
_
α
1
λ
+
_
α
0
, λ
2
C
, α
i
2
R
,
(11)
— произвольный полином. Тогда для существования вектора
k
2
R
m
такого, что
det
λI
n
−
A
+bk
T
C
=
λ
n
+
_
α
n
−
1
λ
n
−
1
+
∙ ∙ ∙
+
_
α
1
λ
+
_
α
0
,
(12)
необходимо и достаточно, чтобы
f
(
A
)Ker
C
Lin b
, A
b
, . . . , A
n
−
2
b
.
(13)
Здесь
Ker
C
— ядро матрицы
C
;
Lin b
, A
b
, . . . , A
n
−
2
b
— линей-
ная оболочка
1
, натянутая на векторы
b
, A
b
, . . . , A
n
−
2
b
[5].
В настоящей работе на основе ленточных критериев [7–10] приве-
ден аналог теоремы Ван дер Воуда, дано решение задачи стабилизации
SIMO-системы (4) при заданном х.п. замкнутой системы (12), а так-
же описано множество векторов разности коэффициентов заданного
(12) и исходного (8) х.п., которые могут быть реализованы с помощью
обратной связи по выходу.
Ленточные матрицы и критерии.
В работах [7–10] описаны
ленточные матрицы и критерии, играющие фундаментальную роль в
представлении и описании свойств линейных управляемых систем.
Рассмотрим сначала линейную систему с одним входом и одним вы-
ходом (Single Input Single Output — SISO)
σ
x =
A
x + b
u, y
=
c
T
x
,
(14)
1
Другое обозначение — Span.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 4 5
