Доказательство закончено.
Теорема 3
.
Если для полностью управляемой линейной SIMO-
системы (4) выполняется условие (31), то могут быть реализованы
только следующие векторы разности коэффициентов х.п. (27)
:
Δ
α
T
=
μ
T
C
K
Υ
,
(34)
где
μ
T
2
R
m
— произвольный вектор.
Доказательство теоремы 3
. Рассмотрим условие (31) как уравне-
ние относительно вектора (27). В силу леммы 2, обратимости матрицы
K
Υ
(25) и полноты ранга матрицы
C
?
R
произведение матриц
K
−
1
Υ
C
?
R
имеет левый делитель нуля максимального ранга, равный
C
K
Υ
. Дей-
ствительно,
C
K
Υ
K
−
1
Υ
C
?
R
=
CC
?
R
= 0
.
(35)
Очевидно, что вектор
μ
T
C
K
Υ
при любом
μ
T
2
R
m
также является
левым делителем нуля единичного ранга матрицы
K
−
1
Υ
C
?
R
.
Доказательство закончено.
Таким образом, представлен аналог теоремы Ван дер Воуда в тер-
минах ленточных матриц, дано решение задачи стабилизации SIMO-
системы (4) при заданном х.п. замкнутой системы (12), а также описа-
но и параметризовано множество векторов разности коэффициентов
заданного (12) и исходного (8) х.п.
Обобщение теоремы Ван дер Воуда на MIMO-системы.
Полу-
чим для MIMO-системы (1) формулу синтеза регулятора, аналогичную
(26). Рассмотрим линейную MIMO-систему (1), где
C
=
I
n
,
σ
x =
A
x +
B
u
.
(36)
Введем разбиение на столбцы для матрицы входа
B
= b
1
b
2
∙ ∙ ∙
b
r
−
1
b
r
.
(37)
Справедливо утверждение.
Лемма 3
.
Для любой матрицы
A
2
R
n
×
n
всегда найдется после-
довательность векторов
b
1
2
R
n
,
b
2
2
R
n
, . . . ,
b
r
2
R
n
, где
r < n
,
что пара матриц
A
+ b
1
f
T
1
+ b
2
f
T
2
+
∙ ∙ ∙
+ b
r
−
1
f
T
r
−
1
,
b
r
(38)
—
управляемая
.
Здесь
f
T
1
= Θ
T
1
b
?
L
1
(
ω
1
I
n
−
A
)
,
f
T
2
= Θ
T
2
b
?
L
2
(
ω
2
I
n
−
A
)
,
...
f
T
r
−
1
= Θ
T
r
−
1
b
?
L
r
−
1
(
ω
r
−
1
I
n
−
A
)
,
Θ
T
i
2
R
n
−
1
— произвольный ненулевой вектор,
ω
i
— произвольный
10 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 4
