polynomial of a closed system is given. The Van der Voud Theorem generalization
for the case of linear controlled MIMO system is obtained. Also the set of vectors
of coefficient difference for given and initial characteristic polynomials, which may
be implemented using output feedback is described and parameterized. The proofs of
the formulated theorems are presented.
Ключевые слова
:
matrix divide zero, dynamical system, controllability, observability,
stabilization, band criteria, output feedback, pole placement.
Проблема управления спектром матрицы [1] или заданного раз-
мещения полюсов [2, 3] (pole placement [4]) является ключевой в со-
временной теории управления линейными системами. Эта проблема
возникает при решении задачи стабилизации линейной системы с мно-
гими входами и многими выходами (Multi Input Multi Output — MIMO):
σ
x =
A
x +
B
u
, y
=
C
x
,
(1)
где
x(
t
)
2
R
n
— вектор состояния;
u(
t
)
2
R
r
— вектор входа;
y(
t
)
2
R
m
— вектор выхода;
B, C
— числовые матрицы полного
ранга;
R
– множество действительных чисел.
σ
— символ, обозна-
чающий при
σ
x(
t
) = ˙x(
t
)
непрерывную, а при
σ
x(
t
) = x(
t
+ 1)
—
дискретную систему.
Если
C
=
I
n
, т.е.
y = x
, то управление (1) осуществляется на
основе закона с обратной связью:
u =
−
F
x
,
(2)
где
F
2
R
r
×
n
— матрица регулятора по состоянию.
Если
C
2
R
m
×
n
, m < n
, тогда закон (2) заменяется на
u =
−
K
y =
−
KC
x
,
(3)
где
K
2
R
r
×
m
— матрица регулятора по выходу.
Для линейной системы одним входом и многими выходами (Single
Input Multi Output — SIMO):
σ
x =
A
x + b
u,
y =
C
x
,
(4)
где
x
2
R
n
— вектор состояния;
u
2
R
1
— скалярный вход;
y
2
R
m
—
векторный выход;
A
— циклическая матрица [5], законы (2) и (3)
приобретают вид
u
=
−
f
T
x
,
f
2
R
n
,
(5)
u
=
−
k
T
C
x
,
k
2
R
m
.
(6)
Введем множество собственных значений матрицы
A
:
Λ(
A
) =
λ
i
2
C
: det (
λ
i
I
n
−
A
) = 0
, i
= 1
, n ,
(7)
являющихся корнями характеристического полинома (х.п.)
det (
λI
n
−
A
) =
λ
n
+
α
n
−
1
λ
n
−
1
+
∙ ∙ ∙
+
α
1
λ
+
α
0
.
(8)
Для полностью управляемой MIMO-системы (1) и SIMO-системы
(4) следующие утверждения являются эквивалентными [4]:
4 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 4
