Рассмотрим условия непроскальзывания. Представим робот как си-
стему трех твердых тел, включающую в себя платформу и два веду-
щих колеса. Положение этой системызадается набором следующих
параметров:
x
,
y
,
ϕ
— положение платформы,
q
r
,
q
l
— углы поворота
правого и левого колес соответственно.
Условия непроскальзывания получим, воспользовавшись соотно-
шением (6), а также тем обстоятельством, что
v
r
=
ρ
·
˙
q
r
;
v
l
=
ρ
·
˙
q
l
.
Тогда уравнения связей имеют вид
⎧⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
˙
x
=
ρ
2
( ˙
q
r
+ ˙
q
l
) cos
ϕ
;
˙
y
=
ρ
2
( ˙
q
r
+ ˙
q
l
) sin
ϕ
;
˙
ϕ
=
ρ
l
( ˙
q
r
−
˙
q
l
)
,
из которых последнее интегрируется как
ϕ
=
ρ
l
(
q
r
−
q
l
) +
C
где
С
—
некоторая постоянная.
Окончательно уравнения связи имеют вид
⎧⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
˙
x
=
ρ
2
( ˙
q
r
+ ˙
q
l
) cos
ϕ
;
˙
y
=
ρ
2
( ˙
q
r
+ ˙
q
l
) sin
ϕ
;
ϕ
=
ρ
l
(
q
r
−
q
l
) +
C.
(7)
Таким образом, рассмотренная система имеет
5
−
1 = 4
обобщен-
ные координаты, например
(
x, y, q
l
, q
r
)
, и
5
−
3 = 2
степени свободы.
Уравнения движения.
Для вывода уравнений движения воспользу-
емся уравнением Аппеля в виде
∂S
∂q
i
=
Q
i
, i
= 1
,
2
, . . . , n
−
r,
где
n
— число обобщенных координат;
r
— число неголономных урав-
нений связей;
S
— энергия ускорения;
q
i
— обобщенные координаты;
Q
i
— обобщенные силы.
Пусть
М
— произвольная точка массы
m
ν
, а
r
ν
и
ρ
ν
— однородные
векторы, характеризующие ее положение в абсолютной и связанной
системах координат (рис. 2). Тогда имеет место соотношение
r
ν
=
Tρ
ν
,
(8)
где
T
— матрица 3
×
3, задающая положение и ориентацию системы
координат
O X Y
относительно
OXY
и заданная соотношением (1).
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 3 35
