пользуемся этим при формировании закона управления. Тогда, учиты-
вая соотношения (3), а также имея в виду указанное свойство матрицы
Ω
, после элементарных преобразований соотношений (2) получим
⎧⎪⎨
⎪⎩
v
=
1
2
(
v
r
+
v
l
);
ω
=
1
l
(
v
r
−
v
l
)
.
(4)
Если теперь ввести в рассмотрение координаты
x
,
y
,
ϕ
, нетрудно
видеть, что
⎧⎪⎪⎨
⎪⎩
˙
x
=
v
cos
ϕ
;
˙
y
=
v
sin
ϕ
;
˙
ϕ
=
ω.
(5)
Подставив выражения (4) в соотношения (5), получим
⎧⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩
˙
x
=
1
2
(
v
r
+
v
l
) cos
ϕ
;
˙
y
=
1
2
(
v
r
+
v
l
) sin
ϕ
;
˙
ϕ
=
1
l
(
v
r
−
v
l
)
.
(6)
Соотношения (6) представляют собой систему нелинейных диффе-
ренциальных уравнений 3-го порядка относительно фазового вектора
с компонентами (
x
,
y
,
ϕ
)
. Скаляры
v
l
и
v
r
, заданные тем или иным
образом (как функции времени или как функции фазовых координат),
определяют движение платформы. Таким образом, соотношения (6)
можно рассматривать как кинематическую модель мобильного трех-
колесного робота. Линейная и угловая скорости робота определяются
из соотношений (4) .
Динамическая модель.
Прежде чем перейти к выводу уравнений
движения, рассмотрим более детально связи, наложенные на робот.
Анализ связей.
Мобильный робот перемещается по плоскому ре-
льефу, имея два ведущих колеса радиуса
ρ
. Колеса вращаются без
проскальзывания, и оси их вращения совпадают с линией
LR
. Учет
последнего условия обеспечивается выполнением очевидного соотно-
шения
˙
x
sin
ϕ
−
˙
y
cos
ϕ
= 0
, полученного из выражения (5).
Это соотношение устанавливает ограничения на координатыи ско-
рости и представляет собой одно из уравнений связи, геометрическая
интерпретация которого состоит в том, что вектор скорости
v = ( ˙
x,
˙
y
)
т
перпендикулярен орту
y
. Таким образом, налагаемая связь является
неголономной.
34 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 3
