то, подставив в него
λ
=
z
−
η
, получим смещенное уравнение
a
0
(
z
−
η
)
n
+
a
1
(
z
−
η
)
n
−
1
+
. . .
+
a
n
−
1
(
z
−
η
) +
a
n
= 0
,
которое можно привести к виду
a
0
z
n
+
А
1
z
n
−
1
+
. . .
+
А
n
−
1
z
+
А
n
= 0
,
(7)
где
А
n
=
D
(
−
η
);
А
n
−
1
=
D
(
−
η
)
1!
;
. . . . . .
А
1
=
D
(
n
−
1)
(
−
η
)
(
п
−
1)!
.
(8)
Выражения (8) можно получить, разложив функцию
D
(
λ
)
(6) в ряд Тейлора
при
λ
=
z
−
η
. Затем к уравнению (7) применим условие нахождения системы
на границе устойчивости, например по Гурвицу [4]:
А
n
(
η
) = 0
и
Δ
п
−
1
(
η
) = 0
.
(9)
Найдем в соответствии с рис. 1 передаточную функцию в канале стаби-
лизации:
Φ
(
р
) =
k
(
Т
1
р
+ 1)
Т
2
р
2
+ 2
ξ
Тр
+ 1
1 +
a
13
k
РП
k
(
Т
1
р
+ 1)
Т
2
р
2
+ 2
ξ
Тр
+ 1
k
ДГ
+
v
ЛА
Т
1
р
+ 1
k
ДЛУ
=
=
k
(
Т
1
р
+ 1)
Т
2
р
2
+ 2
ξ
Тр
+ 1 +
ka
13
k
РП
((
Т
1
р
+ 1)
k
ДГ
+
v
ЛА
k
ДЛУ
)
.
Тогда характеристическое уравнение будет иметь вид
D
(
р
) =
Т
2
р
2
+ (2
ξ
Т
+
ka
13
k
РП
Т
1
k
ДГ
)
р
+ 1 +
ka
13
k
РП
(
k
ДГ
+
v
ЛА
k
ДЛУ
)
.
По уравнениям (8) и (9) составляем уравнение для определения величины
η
:
Т
2
η
2
−
(2
ξ
Т
+
ka
13
k
РП
Т
1
k
ДГ
)
η
+ 1 +
ka
13
k
РП
(
k
ДГ
+
v
ЛА
k
ДЛУ
) = 0
,
откуда
η
=
2
ξ
Т
+
k
∗
Т
1
k
ДГ
±
(2
ξ
Т
+
k
∗
Т
1
k
ДГ
)
2
−
4
Т
2
(1 +
k
∗
(
k
ДГ
+
v
ЛА
k
ДЛУ
))
2
Т
2
,
k
∗
=
ka
13
k
РП
.
(10)
Оценка времени переходного процесса обратно пропорциональна
η
и на
t
п
накладываются жесткие требования, поэтому для дальнейших выкладок
берем больший из корней уравнения (10).
В соответствии с выражением (5) имеем неравенство
t
п
6
Т
2
2
ξ
Т
+
k
∗
Т
1
k
ДГ
+ (2
ξ
Т
+
k
∗
Т
1
k
ДГ
)
2
−
4
Т
2
(1+
k
∗
(
k
ДГ
+
v
ЛА
k
ДЛУ
))
,
подставляя в которое числовые значения, получаем
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2007. № 4 103
