Равновесно-арбитражная многокритериальная балансировка каналов в многосвязанном регулировании и управлении - page 4

где εст. треб ˙
ϑ = εст. треб ˙
ψ = 0,000118 рад/с; так как x1 = ˙ϑ, x3 = ˙ψ (см. (1) и
(2)), то эти показатели имеют вид
J1ϑ = (x1 − ε ст. треб ˙
ϑ )2 → min;
J1ψ = (x3 − εст. треб ˙
ψ)2 → min .
(3)
Критерий перерегулирования. Демпфирующие свойства автоматиче-
ской системы оцениваются значением перерегулирования σ , которое пред-
ставляет собой динамическое отклонение регулируемой величины:
σ =
xmax − xуст
xуст
.
Для рассматриваемой системы имеем
σ ˙
ϑ =
˙
ϑ max − ˙
ϑ уст
˙
ϑ уст
, σ ˙
ψ =
˙
ψmax − ˙
ψуст
˙
ψуст
или
σ ˙
ϑ =
x1 max − x1 уст
x1 уст
, σ ˙
ψ =
x3 max − x3 уст
x 3 уст
.
Показатели формируем в виде квадратичных невязок перерегулирования от-
носительно требуемой величины:
J2ϑ = (σ ˙
ϑ − σтреб ˙
ϑ) 2 → min;
J2ψ = (σ ˙
ψ − σтреб ˙
ψ )2 → min,
(4)
где σтреб ˙
ϑ = σ треб ˙
ψ = 0,2 (20%).
Критерий времени переходного процесса. Для определения быстродей-
ствия в отдельном канале используем корневые оценки качества. Корневые
оценки основываются на расположении корней характеристического урав-
нения замкнутой системы, т.е. полюсов ПФ замкнутой системы, а также ее
нулей [4].
Одна из корневых оценок — степень устойчивости η — это расстояние от
мнимой оси до ближайшего корня на плоскости λ корней характеристическо-
го уравнения замкнутой системы. Если ближайшим окажется вещественный
корень, то ему соответствует апериодическая составляющая решения для
переходного процесса С1 е −ηt. Время ее затухания
tп =
1
η
ln
1
Δ ≈
3
η
( при Δ = 5%) (5)
характеризует общую длительность переходного процесса, так как все чле-
ны решения, соответствующие остальным корням, затухают быстрее. Если
ближайшей к мнимой оси оказалась пара комплексных корней, то доминиру-
ющая составляющая решения для переходного процесса С1 е −ηt sin(βt + C2 )
будет колебательной, но оценка длительности переходного процесса (5) оста-
нется прежней.
Значения η можно найти, не решая характеристическое уравнение. Вве-
дем новую переменную z = λ + η . Тогда на плоскости z мнимая ось β ’ прой-
дет через ближайшие корни, т.е. составленное относительно z характеристи-
ческое уравнение должно удовлетворять условию нахождения на границе
устойчивости. Таким образом, если задано характеристическое уравнение
D(λ) = a0 λn + a1 λn−1 + . . . + an−1 λ + an = 0, (6)
102 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2007. № 4