Previous Page  7 / 14 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 7 / 14 Next Page
Page Background

С каждым узлом

(

j, p

)

связывается пространство

W

p

j

, которое до-

пускает ортонормированный базис

ψ

p

j

(

t

2

j

n

)

n

Z

при движении

вниз по дереву. На корне имеем

W

0

L

=

V

L

и

ψ

0

L

=

ϕ

L

. Предпо-

ложим, что уже построено пространство

W

p

j

и его ортонормиро-

ванный базис

B

p

j

=

ψ

p

j

(

t

2

j

n

)

n

Z

в узле

(

j, p

)

. Два вейвлет-

пакета ортогональных базисов в порожденных узлах описываются

соотношениями расщепления:

ψ

2

p

j

+1

(

t

) =

+

X

n

=

−∞

h

[

n

]

ψ

p

j

t

2

j

n

и

ψ

2

p

+1

j

+1

(

t

) =

+

X

n

=

−∞

g

[

n

]

ψ

p

j

t

2

j

n

. Поскольку пространство

ψ

p

j

(

t

2

j

n

)

n

Z

ортонормировано, то

h

[

n

] =

ψ

2

p

j

+1

(

u

)

, ψ

p

j

(

u

2

j

n

)

,

g

[

n

] =

ψ

2

p

+1

j

+1

(

u

)

, ψ

p

j

(

u

2

j

n

)

.

Доказано

B

2

p

j

+1

=

ψ

2

p

j

+1

(

t

2

j

+1

n

)

n

Z

и

B

2

p

+1

j

+1

=

=

ψ

2

p

+1

j

+1

(

t

2

j

+1

n

)

n

Z

— ортонормированные базисы двух орто-

гональных пространств

W

2

p

j

+1

и

W

2

p

+1

j

+1

таких, что [7]

W

2

p

j

W

2

p

+1

j

=

W

p

j

+1

.

(6)

Рекурсивное расщепление (6) определяет двоичное дерево пространств

вейвлет-пакета, где каждый узел-родитель делится на два ортогональ-

ных подпространства.

Вычислительная сложность алгоритма для одномерного сигнала

длиной

N

и максимальной глубиной

d

одиночного дерева составит

O

(

Nd

)

.

Допустимое дерево.

Допустимым деревом называется любое дво-

ичное дерево, каждый узел которого имеет либо 0, либо 2 рожденных

узла (рис. 3,

б

). Пусть

{

j

i

, p

i

}

1

i

I

— листья допустимого двоичного

дерева. Применяя рекурсивное расщепление (6) вдоль ветвей допусти-

мого дерева, убеждаемся, что пространства

W

p

i

j

i

1

i

I

взаимно ор-

тогональны и в сумме дают

W

0

L

:

W

0

L

=

I

i

=1

W

p

i

j

i

. Поэтому объединение

соответствующих базисов вейвлет-пакетов

ψ

p

i

j

i

(

t

2

j

i

n

)

n

Z

,

1

i

I

определяет ортогональный базис

W

0

L

=

V

L

. Таким образом, полу-

чается базис, адаптированный к сигналу. Отметим, что адаптация

не требует обучения или знания статистических свойств сигнала.

Вейвлет-преобразование — частный случай этого базиса. Адаптив-

ность достигается за счет увеличения вычислительной стоимости.

Для одномерного сигнала длиной

N

и дерева максимальной глуби-

ной

d

вычислительная сложность алгоритма допустимого двоичного

дерева составляет

O

(

Nd

2

)

.

ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1 81