Сравнительный анализ адаптивных алгоритмов вейвлет-пакетов

5 / 14

где r0 = M ∗j −s 0 σ∗ + r. С учетом kωj
r ψj k2 = 2− j и равенств (1), (2),
получаем равенства (4), (5) для s = 1. Теперь предположим, что ра-
венства (4), (5) верны для всех s < s0. Пусть v = (vj −s0 +1, . . . , vj ) ,
v0 = v0
j −s0 +1, . . . , v 0
j , примем γ = (vj− s0+2, . . . , v j ), γ0 =
= v0
j −s 0+2, . . . , v0
j , κ = vj−s 0 +1, κ 0 = v0
j −s0 +1. Тогда
Dω j−s0
r ψ(v)
j , ωj −s0
r ψ( v0 )
j E =
= Dωj −s 0+1
r ψ(v)
j , ωj −s0 +1
r ψ(v0)
j E = Dωj − s0+1
r 0 ψ(v)
j , ωj−s0 +1
r0 ψ (v0)
j E =
= μj −s0 +1
r
κ
μj −s0 +1
r
κ0
λj −s 0 +1
r
1−κ
λj −s 0+1
r
1−κ 0
×
× ω j− s0+1
r ψ (γ)
j , ωj−s 0 +1
r ψ
γ0
j + μj −s0 +1
r 0
κ
μj −s0 +1
r 0
κ0
×
× λ j−s0 +1
r0
1−κ
λj−s 0 +1
r0
1−κ 0 Dωj −s0 +1
r 0 ψ(γ )
j , ωj−s0 +1
r ψ(γ 0)
j E ,
где r0 = M∗j −s0 σ ∗ + r . Согласно индукционному предположению
Dωj− s0 +1
k ψ( γ)
j , ωj−s 0 +1
k ψ(γ0)
j E =
0, при γ 6= γ 0;
2j −s 0 +1, при γ = γ0.
Следовательно, используя равенства (1), (2), получаем равенства (4),
(5) при s = s0. Таким образом, доказано, что Wj = ⊕v
W
(v)
j и си-
стема функций nSj−s
N , ψ( v)
j on,v
является ортонормированным базисом
пространства Wj [6]. Эта система и называется вейвлет-пакетом.
Реализация вейвлет-преобразования сигнала. Вейвлет-анализ
выполняется с помощью древовидно соединенных двухканальных
блоков фильтров. Пусть глубина дерева d, тогда сигнал имеет дли-
ну 2d. Если это не выполняется, можно добавить недостающие отсче-
ты, например, дописать сигнал нулями. Функции из вейвлет-пакета
сконструированы путем обобщения дерева набора фильтров с исполь-
зованием связи вейвлетов и зеркально-сопряженных фильтров. Разби-
ение частотной оси вейвлет-пакетами выполняется подходящей после-
довательностью итерированных сверток с зеркально-сопряженными
фильтрами. Например, быстрые численные разложения по вейвлет-
пакетам реализуются с дискретными наборами фильтров.
Вейвлет-анализ сигнала осуществляется путем его пропускания
через каскадно-соединенные двухканальные схемы “анализа” (рис. 2).
При этом каскадирование проводится по низкочастотной области.
Причина этого в неявном предположении, что данная область содер-
жит больше информации об исходном сигнале. В результате получает-
ся “однобокое” дерево. Оно означает, что сигнал является низкочастот-
ным на большом интервале времени, а высокочастотные компоненты
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1 79