2 / 14
в узкие диапазоны, а высокие — в широкие диапазоны. Желание иметь
больший контроль над разбиением частотно-временн ´ой плоскости
(например, получить меньшие диапазоны в области высоких частот)
приводит к обобщению быстрого вейвлет-преобразования и к созда-
нию более гибкой конструкции, называемой вейвлет-пакеты
1
[1–4].
Вейвлет-пакеты были введены как обобщение связующего зве-
на между кратномасштабными аппроксимациями и вейвлетами. Про-
странство
V
j
+1
кратномасштабной аппроксимации раскладывается на
сумму пространства более низкого разрешения
V
j
и пространства по-
дробностей
W
j
(т.е. пространство
W
j
— ортогональное дополнение
к пространству
V
j
в пространстве
V
j
+1
, тогда согласно свойствам
гильбертова пространства
V
j
оно раскладывается в прямую сумму
V
j
+1
=
V
j
⊕
W
)
. Это осуществляется разбиением ортогонального ба-
зиса
{
ϕ
j
+1
(
t
−
2
j
+1
n
)
}
n
∈
Z
пространства
V
j
+1
на два новых ортого-
нальных базиса:
{
ϕ
j
(
t
−
2
j
n
)
}
n
∈
Z
пространства
V
j
и
{
ψ
j
(
t
−
2
j
n
)
}
n
∈
Z
пространства
W
j
. Разложения
ϕ
j
и
ψ
j
по базису
{
ϕ
j
+1
(
t
−
2
j
+1
n
)
}
n
∈
Z
определяются парой сопряженных зеркальных фильтров.
Использование пары низкочастотных и высокочастотных филь-
тров для разложения пространства соответствует разделению сигнала
на низкочастотную и высокочастотную компоненты. При вейвлет-
преобразовании высокочастотную компоненту оставляют в покое
и раскладывают низкочастотную компоненту. В пакетном вейвлет-
преобразовании также раскладывают высокочастотную компоненту.
Таким образом, пакетное вейвлет-преобразование способствует луч-
шей частотной локализации сигналов.
Пакетное вейвлет-преобразование данных не создает никаких до-
полнительных трудностей. Оно выполняется точно так же, как и
вейвлет-преобразование, — сверткой с фильтрами
h
n
и
g
n
или их
сопряженными. Пакетное вейвлет-разложение сигнала можно пред-
ставить в виде схемы (рис. 1).
Рис. 1. Схема пакетного вейвлет-разложения сигнала
1
Необходимо отметить, что адаптивный выбор материнской функции вейвлет-
преобразования, образующей базис вейвлет-разложения, является отдельным само-
стоятельным предметом исследований и в настоящей работе не рассмотрен.
76 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1