10 / 14
размерность библиотеки базисных функций, из которых осуществля-
ется поиск наилучшей; вычислительная сложность; эффективность
кодирования реальных изображений.
На вершине дерева — исходный сигнал, а ниже — его пакетные
вейвлет-коэффициенты. Левые ветви указывают на аппроксимирую-
щие коэффициенты, а правые — идут к детализирующим коэффици-
ентам предыдущего узла. Обычное вейвлет-разложение — левая часть
пакетного дерева. Вейвлет-коэффициентов достаточно для восстано-
вления сигнала и можно разложить высокочастотные коэффициенты
деталей или отказаться от этого. Таким образом, появляется гораздо
больше возможностей выбора базиса для разложения — от “минималь-
ного” вейвлет-разложения до полного пакетного разложения на всех
уровнях, т.е. существует много вариантов, чтобы разложить сигнал.
Число базисов вейвлет-пакета было определено выше. Для одно-
мерного сигнала длиной
N
при применении двухканального блока
фильтров число базисов
B
(
N
)
, перебираемых алгоритмом одиночно-
го дерева, вычисляется рекурсивно:
B
(
N
) = (
B
(
N
/2))
2
+1
,
B
(2) = 2
.
Это вытекает из следующих соображений. Любое двоичное дерево мо-
жет быть представлено в виде суммы двух субдеревьев высотой на 1
меньше. Если число базисов в этих субдеревьях составляет
B
(
N
/2)
,
то число базисов во всем дереве
B
(
N
) = (
B
(
N
/2))
2
+ 1
.
Для упрощения анализа алгоритма двойного дерева предполо-
жим, что используются фильтры Хаара, так как в этом случае не
требуется применение граничных фильтров. Аналогично предыду-
щему случаю может быть показано, что число перебираемых ба-
зисов
D
(
N
) = (
D
(
N
/2))
2
+
B
(
N
)
− B
(
N
/2)
,
с
D
(
N
) = 2
, а
B
(
N
)
− B
(
N
/2)
— число “новых” базисов одиночного дерева при
отсутствии пространственной сегментации.
Число базисов для частотно-временн´ого дерева может быть вычи-
слено аналогично (для фильтров Хаара):
B
t
f
(
N
) = 2
B
t
f
(
N
/2)
2
−
− B
t
f
(
N
/4)
4
,
B
t
f
(
N
) = 2
. При использовании других фильтров чис-
ло базисов увеличивается за счет периодического расширения сигнала
и становится равным
B
t
f
(
N
) = 2
B
t
f
(
N
/2)
2
.
Для алгоритма гибкой временн´ой сегментации число базисов
B
F
(
N
) =
b
log
2
N
c
X
i
=0
B
2
i
− B
2
i
−
1
B
F
N
−
2
i
,
B
F
(2) = 2
и
B
(1) = 0
.
Базисы вейвлет-пакетов характеризуются разбиением частотной
оси на интервалы разных размеров. Поэтому такие базисы особенно
хорошо приспособлены для разложения сигналов, которые имеют раз-
личное поведение на разных частотных интервалах. Если функция
f
обладает изменяющимися во времени свойствами, то ее целесообраз-
но раскладывать по блочным базисам, которые разбивают временн ´ую
84 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1