4 / 14
всех
k
≡
n
modM
∗
j
[3, 4]. Тогда имеют место равенства
μ
j
r
2
+
λ
j
r
2
=
μ
j
r
2
+
μ
j
r
+
M
∗
j
−
1
σ
∗
2
=
λ
j
r
2
+
λ
r
+
M
∗
j
−
1
σ
∗
2
= 2
(1)
и
μ
j
r
λ
j
r
+
μ
j
r
+
M
∗
j
−
1
σ
∗
λ
r
+
M
∗
j
−
1
σ
∗
= 0
.
(2)
Пусть
r
∈
Z
,
k
∈
Z
+
, обозначим мультипликаторы
Δ
k
и
Λ
k
, заданные в
пространстве
L
2
T
d
и определяемые по равенствам
c
Δ
k
f
(
r
) =
μ
k
r
b
f
(
r
)
,
c
Λ
k
f
(
r
) =
λ
k
r
b
f
(
r
)
.
Зафиксируем натуральное число
s
. Для целого числа
j
≥
s
и
v
= (
v
j
−
s
0
+1
, . . . , v
j
)
, где
v
k
принимает значения 0 и 1, примем
ψ
(
v
)
j
=
ψ
(
v,s
)
j
=
j
Y
k
=
j
−
s
+1
Δ
v
k
k
Λ
1
−
v
k
k
ψ
j
;
W
(
v
)
j
= span
n
S
j
−
s
n
ψ
(
v
)
j
, n
∈
D M
∗
j
−
s
o
.
Поскольку эти последовательности
{
μ
j
r
}
,
{
λ
j
r
}
M
j
-периодичны по
нижнему индексу, имеем
ω
j
r
ψ
(
v
)
j
(
x
) =
=
X
l
∈
Z
de
j
Y
k
=
j
−
s
+1
μ
k
M
j
l
+
r
v
k
λ
k
M
j
l
+
r
1
−
v
k
b
ψ
j
M
j
l
+
r e
2
πi
(
M
−
j
l
+
r,x
) =
=
j
Y
k
=
j
−
s
+1
μ
k
r
v
k
λ
k
r
1
−
v
k
ω
j
r
ψ
j
(
x
)
.
(3)
Установим включение
W
(
v
)
j
⊂
W
j
. Покажем, что
W
(
v
)
j
⊥
W
v
0
j
при
v
6
=
v
0
и система функций
n
S
n
j
−
s
ψ
(
v
)
j
o
2
j
−
s
−
1
n
=0
является ортонормирован-
ным базисом пространства
W
(
v
)
j
при каждом
v
. Для этого достаточно
установить при
v
6
=
v
0
D
ω
j
−
s
r
ψ
(
v
)
j
, ω
j
−
s
r
ψ
(
v
0
)
j
E
= 0
(4)
и
ω
j
−
s
r
ψ
(
v
)
j
2
= 2
−
j
+
s
.
(5)
Для доказательства равенств (4), (5) проведем индукцию по числу
s
[3–5]. Пусть
s
= 1
. Используя (3), определяем
D
ω
j
−
1
r
ψ
(
v
)
j
, ω
j
−
1
r
ψ
(
v
0
)
j
E
=
D
ω
j
r
ψ
(
v
)
j
, ω
j
r
ψ
(
v
0
)
j
E
+
D
ω
j
r
0
ψ
(
v
)
j
, ω
j
r
0
ψ
(
v
0
)
j
E
=
=
μ
j
r
v
j
μ
j
r
v
0
j
λ
j
r
1
−
v
j
λ
j
r
1
−
v
0
j
ω
j
−
s
r
ψ
j
2
+
+
μ
j
r
0
v
j
μ
j
r
0
v
0
j
λ
j
r
0
1
−
v
j
λ
j
r
0
1
−
v
0
j
ω
j
−
s
r
0
ψ
j
2
,
78 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1