7 / 15
клонении значения
e
ε
от единицы. Поэтому целесообразно рассмотреть
подходы, позволяющие на основе математических моделей, учитываю-
щих форму включений и структуру композита, получить эффективное
значение диэлектрической проницаемости композита.
Представительный элемент структуры композита.
Предполо-
жим, что шаровые включения в композите не контактируют между со-
бой, т.е. отделены друг от друга слоем материала матрицы. Композит
полагаем состоящим из множества составных частиц, каждая в виде
включения, окруженного шаровым слоем материала матрицы. Радиус
таких частиц примем переменным от некоторого конечного до беско-
нечно малого, что позволяет полностью заполнить область, занятую
композитом. Cоставную шаровую частицу произвольным радиусом
R
примем представительным элементом структуры рассматриваемого
композита. Тогда при заданной объемной концентрации
C
V
включений
для радиуса шарового включения получим
R
0
=
RC
1
/
3
V
.
Поместим составную частицу в неограниченный массив однород-
ного материала, относительная диэлектрическая проницаемость
ε
1
ко-
торого подлежит определению как эффективная характеристика ком-
позита. В центре этой частицы выберем начало сферической системы
координат. Примем, что на большом расстоянии (
r R
) от начала
координат задан вектор напряженности
E
0
электростатического поля,
направленный вдоль координатной оси, от которой происходит отсчет
полярного угла
θ
, т.е. при
r
→ ∞
распределение электрического по-
тенциала описывает функция
U
∞
(
r, θ
) =
−
E
0
r
cos
θ
, где
E
0
=
|
E
0
|
.
Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа, имеющему в сфери-
ческих координатах следующий вид:
1
r
∂
∂r
r
2
∂U
∂r
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂r
sin
θ
∂U
∂θ
+
1
r
2
sin
θ
∂
2
U
∂ϕ
2
= 0
.
(15)
В таком случае благодаря выбранному направлению вектора
E
0
рас-
пределение электрического потенциала не зависит от угловой коорди-
наты
ϕ
, т.е.
∂
2
U/∂ϕ
2
≡
0
.
По мере приближения к составной шаровой частице электроста-
тическое поле в однородном материале претерпевает возмущение,
также описываемое удовлетворяющим уравнению (15) слагаемым
Δ
U
(
r, θ
) =
−
(
B/r
2
) cos
θ
[2], где
B
— подлежащий определению по-
стоянный коэффициент. Таким образом, распределение электрическо-
го потенциала в однородном материале, удовлетворяющее заданному
условию при
r
→ ∞
и уравнению (15), описывает функция
U
(
r, θ
) =
U
∞
(
r, θ
) + Δ
U
(
r, θ
) =
−
(
E
0
r
+
B/r
2
) cos
θ.
(16)
Аналогичные зависимости описывают распределения электрического
56 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 3