8 / 15
потенциала в шаровом включении
U
◦
(
r, θ
) =
A
◦
r
+
B
◦
r
2
cos
θ
(17)
и в слое материала матрицы
U
m
(
r, θ
) =
A
m
r
+
B
m
r
2
cos
θ.
(18)
Из равенств (16)–(18) в плоскости при
θ
=
π/
2
получим
U
(
r, π/
2) =
=
U
◦
(
r, π/
2) =
U
m
(
r, π/
2) = 0
, в частности
U
◦
(0
, π/
2) = 0
, что мо-
жет быть выполнено лишь при
B
◦
= 0
в формуле (17). Тогда в
равенства (16)–(18) будет входить четыре неизвестных коэффициента,
которые необходимо найти из граничных условий на сферических
поверхностях радиусами
R
0
и
R
. При
r
=
R
0
из условий непре-
рывности электрического потенциала и радиальной составляющей
вектора электрического смещения запишем
U
◦
(
R
0
, θ
) =
U
m
(
R
0
, θ
)
и
ε
◦
∂U
◦
(
r, θ
)
/∂r
|
r
=
R
0
=
ε
m
∂U
m
(
r, θ
)
/∂r
|
r
=
R
0
. Отсюда с использованием
формул (17) и (18) при
B
◦
= 0
определим
A
◦
=
A
m
+
B
m
R
3
0
;
ε
◦
A
◦
=
ε
m
A
m
−
2
B
m
R
3
0
.
(19)
При
r
=
R
из указанных условий непрерывности с использованием
формул (16) и (18) получим
A
m
+
B
m
R
3
=
−
E
0
+
B
R
3
;
ε
m
A
m
−
2
B
m
R
3
=
−
ε
1
E
0
−
2
B
R
3
.
(20)
Последовательным исключением из равенств (19) и (20) трех ко-
эффициентов
A
◦
,
A
m
и
B
m
находим
B
R
3
= 3
E
0
e
ε
1
2 +
e
ε
−
(
e
ε
−
1)
C
V
(2
e
ε
1
+ 1)(2 +
e
ε
)
−
2(
e
ε
1
−
1)(
e
ε
−
1)
C
V
−
E
0
,
(21)
где
e
ε
1
=
ε
1
/ε
m
. Заменим составную шаровую частицу равновеликим
шаром радиусом
R
из однородного материала с искомой относитель-
ной диэлектрической проницаемостью
ε
1
. Это приведет к исчезнове-
нию возмущения в распределении электрического потенциала в окру-
жающем такой шар материале, что равносильно условию
B
= 0
. Это
условие с учетом равенства (21) позволяет записать
e
ε
1
=
2 +
e
ε
−
2(1
−
e
ε
)
C
V
2 +
e
ε
+ (1
−
e
ε
)
C
V
.
(22)
Адекватность математической модели, построенной с использова-
нием введенного выше представительного элемента структуры ком-
позита, косвенно подтверждает совпадение формулы (22) с формулой
Максвелла, приведенной в монографии [12]. К виду (22) также мож-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 3 57