3 / 15
В силу аналогии между математическими формулировками задач
электро- и магнитостатики рассмотренные ниже математические мо-
дели могут быть применены и для прогноза магнитной проницаемо-
сти композитов. Возможно использование изложенных ниже подходов
и для оценки электропроводности неоднородной среды с шаровыми
включениями. Именно электропроводности такой среды была посвя-
щена первая известная в этом направлении работа, опубликованная
К. Максвеллом в 1873 г. [6].
Основные соотношения.
Из полной системы уравнений Макс-
велла [5, 7] следуют уравнения электростатики в виде [5, 8]
∇ ×
E
= 0
,
∇ ∙
D
=
ρ
e
,
(1)
где
∇
— дифференциальный оператор Гамильтона;
E
и
D
— векто-
ры напряженности электростатического поля и электрического сме-
щения (электрической индукции);
0
— нулевой вектор;
ρ
e
— объемная
плотность свободных электрических зарядов, которую в дальнейшем
примем равной нулю. Первое уравнение (1) можно удовлетворить то-
ждественно, если ввести соотношением
E
=
−∇
U
(2)
скалярный электрический потенциал
U
. Для изотропной среды векто-
ры
E
и
D
коллинеарны и связаны равенством [2, 5]
D
=
εε
0
E,
(3)
где
ε
— относительная диэлектрическая проницаемость (для вакуу-
ма
ε
= 1
, для диэлектриков
ε >
1
);
ε
0
— электрическая постоянная,
ε
0
= 8
,
8542
∙
10
−
12
м
−
3
∙
кг
−
1
∙
с
4
∙
А
2
.
Область
V
, занятую композитом с дисперсными включениями,
представим в виде прямого цилиндра высотой
H
и площадью осно-
ваний
F
. Боковую поверхность цилиндра примем электроизолиро-
ванной, на одном из оснований зададим электрический потенциал
U
=
U
H
, а на другом —
U
= 0
. Изотропный материал в области
V
полагаем неоднородным, т.е. относительная диэлектрическая прони-
цаемость
ε
(
M
)
этого материала зависит от положения точки
M
∈
V
в
области, занятой композитом. В этом случае из второго уравнения (1) и
формул (2) и (3) при
ρ
e
(
M
)
≡
0
(
M
∈
V
) получим дифференциальное
уравнение
∇ ∙
(
ε
(
M
)
∇
U
(
M
)) = 0
.
(4)
Для однозначного решения уравнения (4) в точках
N
∈
S
поверх-
ности
S
области
V
необходимо сформулировать граничные условия.
На участках
S
U
=
S
H
∪
S
0
⊂
S
этой поверхности, соответствую-
щих основаниям цилиндра, заданы значения
U
(
N
) =
U
H
(
N
∈
S
H
)
и
U
(
N
) = 0
(
N
∈
S
0
), а на боковой поверхности
S
∗
=
S
\
S
U
–
52 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 3