5 / 15
Если объемную концентрацию включений в композите обозначить
C
V
,
а диэлектрические проницаемости матрицы и включений —
ε
m
и
ε
◦
,
то вместо формулы (9) можно записать формулу
J
1
=
U
2
H
F
(1
−
C
V
)
ε
m
+
C
V
ε
◦
2
H
.
(10)
В качестве допустимого распределения вектора
D
для функцио-
нала (6) примем постоянное значение
D
единственной составляющей
этого вектора, перпендикулярной основаниям цилиндра. Значение
D
найдем из необходимого условия максимума функционала (6), кото-
рый примет вид
I
1
=
−
D
2
FH/
2
(1
−
C
V
)
/ε
m
+
C
V
/ε
◦
−
U
H
DF.
Тогда из условия
dI
1
/dD
= 0
найдем
D
=
−
U
H
((1
−
C
V
)
/ε
m
+
+
C
V
/ε
◦
)
/H
и в итоге
I
1
=
U
2
H
F
2
H
1
−
C
V
ε
m
+
C
V
ε
◦
.
(11)
Заменим в рассматриваемой области неоднородную среду, состоящую
из матрицы и включений с различными значениями диэлектрической
проницаемости, однородной средой с искомым эффективным значе-
нием
ε
∗
диэлектрической проницаемости композита. В этом случае
функционал (5) на том же самом линейном распределении электриче-
ского потенциала примет значение
J
∗
1
=
ε
∗
U
2
H
F
2
H
.
(12)
В соответствии с неравенствами (7) имеем
J
1
>
J
∗
1
>
I
1
, что с учетом
формул (10)–(12) приводит к двусторонним оценкам
ε
+
= (1
−
C
V
)
ε
m
+
C
V
ε
◦
>
ε
∗
>
(1
−
C
V
)
/ε
m
+
C
V
/ε
◦
=
ε
−
,
(13)
которые не зависят от формы включений. При этом
ε
+
=
h
ε
i
, где
h
ε
i
—
среднее по объему области
V
значение относительной диэлектриче-
ской проницаемости.
Верхняя (
ε
+
) и нижняя (
ε
−
) оценки в соотношении (13) совпадают
при значениях
C
V
= 0
и
C
V
= 1
, но при промежуточных значениях
C
V
∈
(0; 1)
разность
ε
+
−
ε
−
возрастает по мере отклонения отношения
e
ε
=
ε
◦
/ε
m
от единицы. Отношение
η
= (
ε
+
−
ε
−
)
/
(
ε
+
+
ε
−
)
можно рас-
сматривать как наибольшую возможную относительную погрешность
при выборе в качестве эффективного значения диэлектрической про-
ницаемости композита полусуммы полученных оценок. Зависимость
погрешности
η
от объемной концентрации включений
C
V
при раз-
личных значениях
e
ε >
1
(кривые, построенные для пар значений
e
ε
и
1
/
e
ε
, совпадают) представлена на рис. 1,
а
. Наибольших значений
54 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 3