10 / 15
напряженности возмущенных электростатических полей в частице ма-
трицы и во включении будут иметь лишь постоянные составляющие
Δ
E
m
=
ε
◦
−
ε
m
2
ε
◦
+
ε
m
E
0
; Δ
E
◦
=
ε
◦
−
ε
◦
2
ε
◦
+
ε
◦
E
0
,
(25)
направленные по оси, от которой происходит отсчет угла
θ
в сфериче-
ской системе координат. Таким образом, при осреднении составляю-
щих (25) по объему, занятому композитом, существенными являются
объемные концентрации (
C
V
) включений и (
1
−
C
V
) матрицы. Согласно
методу самосогласования [11, 16], результат осреднения возмущений
следует приравнять нулю, т.е.
(1
−
C
V
)Δ
E
m
+
C
V
Δ
E
◦
= 0
, или с
учетом формул (25) при
E
0
6
= 0
(1
−
C
V
)
ε
◦
−
ε
m
2
ε
◦
+
ε
m
+
C
V
ε
◦
−
ε
◦
2
ε
◦
+
ε
◦
= 0
.
Это равенство приводит к квадратному уравнению относительно иско-
мого значения
ε
◦
для композита. Положительный корень приведенного
уравнения имеет вид
e
ε
◦
=
ε
◦
ε
m
=
2
−
e
ε
+ 3(
e
ε
−
1)
C
V
+
p
(2
−
e
ε
+ 3(
e
ε
−
1)
C
V
)
2
+ 8
e
ε
4
.
(26)
Отметим, что в таком случае осреднение по объему композита по-
стоянных в пределах шаровых частиц матрицы и шаровых включений
составляющих вектора электрического смещения и приравнивание по-
лученного результата составляющей
ε
◦
E
0
невозмущенного векторного
поля этой величины в однородном материале приводит к идентичному
квадратному уравнению, положительный корень которого также опре-
деляется по формуле (26). Такое же уравнение можно получить, если
осреднить возмущения векторных полей электрического смещения в
указанных частицах по отношению к невозмущенному полю этой ве-
личины в однородном материале и приравнять результат нулевому
вектору.
Использование теории смесей.
Если рассматривать композит как
дисперсную систему, то его эффективное значение
ε
∗
относительной
диэлектрической проницаемости можно трактовать в рамках теории
смесей [17] как коэффициент пропорциональности в равенстве [2]
h
D
i
=
ε
∗
ε
0
h
E
i
,
(27)
где
h
D
i
и
h
E
i
— осредненные по области
V
, занятой композитом,
векторные поля электрического смещения и напряженности электро-
статического поля (
h ∙ i
— операция осреднения по рассматриваемой
области). Для локальных параметров в этой области имеем
D
(
M
) =
h
D
i
+
δD
(
M
);
ε
(
M
) =
h
ε
i
+
δε
(
M
);
E
(
M
) =
h
E
i
+
δE
(
M
)
, M
∈
V,
(28)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 3 59