11 / 15
где
δ
— отклонение локального значения параметра от его осреднен-
ного значения, причем
h
δD
i
= 0
,
h
δε
i
= 0
,
h
δE
i
= 0
.
Проведя осреднение по области
V
равенства (3) и опустив обозна-
чение точки
M
∈
V
, с учетом формул (28) запишем
h
D
i
/ε
0
=
h
εE
i
=
h
(
h
ε
i
+
δε
)(
h
E
i
+
δE
)
i
=
h
ε
ih
E
i
+
h
δεδE
i
.
(29)
Если в правой части соотношения (29) пренебречь вторым слагаемым,
то с учетом формулы (27) получим
ε
∗
=
h
ε
i
=
ε
+
, т.е. в нулевом
приближении значение
ε
∗
совпадает с верхней оценкой из соотноше-
ния (13).
Для оценки слагаемого
h
δεδE
i
в формуле (29) можно прове-
сти осреднение по области
V
уравнения (1) при
ρ
e
≡
0
, что по-
зволяет записать
3
h
ε
i
δE
≈ −h
E
i
δε
[2] и после умножения обеих
частей этой формулы на
δε
и осреднения по области
V
получить
h
δεδE
i ≈ −h
E
ih
(
δε
)
2
i
/
(3
h
ε
i
)
. Подстановка полученного приближен-
ного равенства в правую часть (29) приводит с учетом (27) к оценке
ε
∗
≈
(
h
ε
1
/
3
i
)
3
[2]. Тогда для рассматриваемого композита
ε
∗
≈
((1
−
C
V
)
3
√
ε
m
+
C
V
3
√
ε
◦
)
3
.
(30)
Сравнение полученных оценок.
Преобразованием формулы (22)
можно показать, что
ε
1
≡
ε
−
∗
, т.е. оценка, полученная путем постро-
ения математической модели представительного элемента структу-
ры композита, совпадает с определяемой соотношением (14) нижней
Рис. 2. Зависимость отношения
ˉ
ε
=
ε
−∗
/
ε
+
∗
от объемной концентрации
C
V
включе-
ний при значениях параметра
e
ε
= 5 (
1
), 10
(
2
), 20 (
3
), 100 (
4
), 500 (
5
)
уточненной границей возмож-
ных значений диэлектрической
проницаемости композита,
установленной с использова-
нием двойственной вариацион-
ной формулировки задачи элек-
тростатики для неоднородного
твердого тела. Зависимость от-
ношения
ˉ
ε
=
ε
−
∗
/ε
+
∗
от объем-
ной концентрации
C
V
включе-
ний при различных значениях
параметра
e
ε
=
ε
◦
/ε
m
>
1
по-
казана на рис. 2 (сплошными
линиями обозначены кривые,
построенные по (14); кривые
для значений
1
/
e
ε
совпадают с
кривыми, представленными на
рис. 2, для значений
e
ε
при усло-
вии замены на оси абсцисс ве-
личины
C
V
величиной
1
−
C
V
,
т.е. величина
C
V
выполняет
60 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 3