4 / 15
−∇
U
(
N
)
∙
n
(
N
) = 0
(
N
∈
S
∗
), где
n
(
N
)
— единичный вектор внешней
нормали к поверхности
S
∗
в точке
N
∈
S
∗
.
Сформулированной задаче электростатики в дифференциальной
форме соответствует вариационная формулировка, содержащая мини-
мизируемый функционал [5]
J
[
U
] =
1
2
Z
V
ε
(
M
)(
∇
U
(
M
))
2
dV
(
M
)
.
(5)
Функционал (5) допустимо рассматривать на распределениях
U
(
M
)
,
M
∈
V
, удовлетворяющих на участках
S
U
поверхности
S
области
V
заданным выше граничным условиям и непрерывных в замкнутой
области
V
=
V
∪
S
, а в открытой области
V
, имеющих кусочно не-
прерывные производные.
Альтернативным по отношению к функционалу (5) является мак-
симизируемый функционал [5]
I
[
D
] =
−
1
2
Z
V
(
D
(
M
))
2
ε
(
M
)
dV
(
M
)
−
U
H
Z
S
H
D
(
N
)
∙
n
(
N
)
dS
(
N
)
,
(6)
который допустимо рассматривать на непрерывных распределениях
вектора
D
(
M
)
,
M
∈
V
, удовлетворяющих дополнительным условиям
∇∙
D
(
M
) = 0
(
M
∈
V
) и
D
(
N
)
∙
n
(
N
) = 0
(
N
∈
S
∗
). Из экстремальных
свойств функционалов (5) и (6) и равенства их значений на истинном
решении задачи следует цепочка неравенств
J
[
U
]
>
J
[
U
∗
]
>
I
[
D
]
,
(7)
где
U
∗
(
M
)
,
M
∈
V
— истинное распределение электрического потен-
циала в замкнутой области
V
), на котором функционал (5) достигает
своего наименьшего значения
J
[
U
∗
] =
U
◦
2
Z
S
◦
ε
(
M
)
∇
U
∗
(
M
)
∙
n
(
N
)
dS
(
N
)
.
(8)
Двусторонние оценки.
Используем двойственную вариационную
формулировку рассмотренной выше задачи электростатики для по-
строения двусторонних оценок диэлектрической проницаемости ком-
позита. Для этого примем достаточно простое допустимое линейное
по высоте замкнутой цилиндрической области
V
распределение элек-
трического потенциала
U
(
M
)
,
M
∈
V
. Пусть координатная ось
OX
направлена перпендикулярно основаниям цилиндра, причем значение
x
= 0
соответствует основанию
S
0
, а значение
x
=
H
— основанию
S
H
. Тогда при выборе
U
(
x
) =
U
H
x/H
из формул (2) и (5) получим
J
1
=
1
2
U
H
H
2
Z
V
ε
(
M
)
dV
(
M
)
.
(9)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 3 53