5 / 12
A
k
= B
⊥
k
−
1
A
k
−
1
B
⊥
+
k
−
1
,
B
k
= B
⊥
k
−
1
A
k
−
1
B
k
−
1
(10)
—
k
-й (промежуточный) уровень декомпозиции;
A
L
= B
⊥
L
−
1
A
L
−
1
B
⊥
+
L
−
1
,
B
L
= B
⊥
L
−
1
A
L
−
1
B
L
−
1
(11)
—
L
-й (конечный) уровень декомпозиции.
Справедлива
Теорема 1
[1, 2].
Если MIMO-система
(4)
с парой
матриц
(A
,
B)
полностью управляемая, то полностью управляемы
все пары матриц
(A
i
,
B
i
) (8)
−
(11)
, где
i
∈ {
0
, . . . , L
}
.
Без ограничения общности в дальнейшем будем считать, что все
матрицы
B
i
в (8)–(11) являются матрицами полного ранга по столбцам.
В противном случае можно воспользоваться подходом, изложенным
в [2]. Тогда справедливо следующее утверждение.
Теорема 2
[1, 2].
Пусть MIMO-система
(4)
полностью управляе-
мая и матрица
K
∈
R
r
×
m
удовлетворяет формулам
K = K
0
= B
−
0
A
−
Φ
0
B
−
0
,
B
−
0
= K
1
B
⊥
0
+ B
+
0
,
(12)
K
1
= B
−
1
A
1
−
Φ
1
B
−
1
,
B
−
1
= K
2
B
⊥
1
+ B
+
1
, . . . ,
(13)
K
k
= B
−
k
A
k
−
Φ
k
B
−
k
,
B
−
k
= K
k
+1
B
⊥
k
+ B
+
k
, . . . ,
(14)
K
L
= B
−
L
A
L
−
Φ
L
B
−
L
,
(15)
тогда
eig
(A
−
BK) =
L
+1
[
i
=1
eig
(Φ
i
−
1
)
.
(16)
Из теоремы 2 следует, что закон управления (5) с матрицей
K
∈
R
r
×
n
, удовлетворяющей соотношениям (12)–(15), обеспечива-
ет выполнение условия (16), т.е. заданного размещения полюсов.
Аналитический синтез законов управления.
Введем в рас-
смотрение двухуровневую декомпозицию системы (2), поскольку
L
=
floor
(
n/r
) = 2
, учитывая, что в нашем случае ранг каждой
из вводимых матриц
B
0
и
B
1
совпадает с соответствующим числом
столбцов:
нулевой уровень
A
0
= A =
a
11
a
12
0
a
14
a
21
a
22
0
a
24
a
31
a
32
a
33
a
34
0 0 1 0
,
B
0
= B =
b
11
b
12
b
21
b
22
b
31
b
32
0 0
,
(17)
первый уровень
A
1
= B
⊥
0
A
0
B
⊥
+
0
,
B
1
= B
⊥
0
A
0
B
0
.
(18)
B
⊥
+
0
— псевдообратная матрица Мура – Пенроуза для
B
⊥
0
[1].
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2 7