4 / 12
Управление системой (4) с помощью законов (5) является класси-
ческой задачей, когда необходимо найти матрицу
K
, обеспечивающую
некоторые заданные требования к процессу управления. Эти требова-
ния условно можно разделить на три группы [1]:
a
) требования на
размещение полюсов замкнутой системы (собственных значений ма-
триц
A
−
BK
) в заданных точках
C
stab
или в заданной области
C
stab
(заданной областью, например, может быть вся левая полуплоскость
C
);
b
) требования на размещение полюсов и нулей (тех или иных
нулей передаточной матрицы MIMO-системы замкнутой системы в
заданных точках
C
stab
или заданных областях
C
stab
;
c
) требования к
переходным процессам в замкнутой системе в смысле минимума за-
данного функционала.
В [1, 2] предложен эффективный метод решения задачи полно-
го размещения полюсов MIMO-системы (4). Метод не требует реше-
ния специальных матричных уравнений (типа уравнения Сильвестра),
имеет один и тот же вид для непрерывного и дискретного случаев
задания модели системы, не имеет ограничений по алгебраической и
геометрической кратности задаваемых полюсов, легко реализуется в
среде MATLAB.
Пусть
B
⊥
T
= null B
T
— ортогональный делитель нуля, т.е. ма-
трица, удовлетворяющая следующим условиям [1]:
B
⊥
B = 0
(
n
−
r
)
×
r
,
(6)
B
⊥
B
⊥
T
= I
n
−
r
;
(7)
B
+
— псевдообратная матрица Мура–Пенроуза, т.е.
BB
+
B = B
,
B
+
BB
+
= B
+
,
B
+
B
т
= B
+
B
,
BB
+
т
= BB
+
.
Здесь
null (
∙
)
— оператор вычисления базиса нуль-пространства [3];
0
(
n
−
r
)
×
r
— нулевая матрица размера
(
n
−
r
)
×
r
.
Определим
L
=
floor
(
n/r
)
, где floor
(
∗
)
— операция округления
числа * в сторону ближайшего целого в меньшую сторону, например,
floor
(0
,
1) = 0
, floor
(1
,
4) = 1
, floor
(2
,
9) = 2
и т.д. Введем в рас-
смотрение многоуровневую декомпозицию MIMO-системы (4) анало-
гично тому, как это сделано в [2]. Для представляемой парой матриц
(A
,
B)
MIMO-системы имеем:
A
0
= A
,
B
0
= B
(8)
— нулевой (исходный) уровень декомпозиции;
A
1
= B
⊥
0
A
0
B
⊥
+
0
,
B
1
= B
⊥
0
A
0
B
0
(9)
— первый уровень декомпозиции;
6 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2