3 / 12
Введем для краткости записи обозначения
a
11
=
−
a
V
x
,
a
12
=
−
a
θ
x
+
+
a
α
x
,
a
14
=
−
a
α
x
,
a
21
=
−
a
V
y
,
a
22
=
−
a
θ
y
+
a
α
y
,
a
24
=
−
a
α
y
,
a
31
=
a
V
m
z
,
a
32
=
a
α
m
z
,
a
33
=
−
a
ω
z
m
z
,
a
34
=
−
a
α
m
z
,
b
11
=
a
P
x
,
b
12
=
a
δ
c
x
,
b
21
=
a
P
y
,
b
22
=
a
δ
c
y
,
b
31
=
a
P
m
z
,
b
32
=
a
δ
c
m
z
, тогда объект управления (1) в развер-
нутом виде запишется так
4
˙
V
4
˙
θ
4
˙
ω
z
4
˙
υ
=
a
11
a
12
0
a
14
a
21
a
22
0
a
24
a
31
a
32
a
33
a
34
0 0 1 0
4
V
4
θ
4
ω
z
4
υ
+
b
11
b
12
b
21
b
22
b
31
b
32
0 0
4
P
4
δ
c
.
(2)
Считая все компоненты вектора состояния полностью наблюдае-
мыми, будем искать управление для модели (2) в виде закона обратной
связи вида
u =
−
Kx
,
(3)
где
K
— искомая матрица коэффициентов (матрица регулятора).
Задача размещения полюсов.
Как уже отмечалось в [1], за-
дача размещения полюсов или задача назначения собственных зна-
чений (eigenvalue assignment) в линейных динамических системах в
той или иной постановке рассматривалась в многочисленных работах.
В общем случае вместо системы (1) рассмотрим линейную многомер-
ную динамическую систему с многими входами и многими выходами
(MIMO — Multi Inputs Multi Outputs)
D
x(
t
) = Ax(
t
) + Bu(
t
)
,
(4)
где,
x
∈
R
n
— вектор состояния, а
u
∈
R
r
— вектор управляю-
щих воздействий;
D
— оператор дифференцирования по времени:
D
x(
t
) = ˙x(
t
)
, либо оператор сдвига во времени:
D
x(
t
) = x(
t
+ 1)
.
Аналогично (3) считаем, что для MIMO-системы (4) рассматрива-
ется управление с обратной связью
u(
t
) =
−
Kx(
t
)
,
(5)
где
K
∈
R
r
×
n
— постоянная матрица регулятора. Кроме того, предпо-
лагается, что матрица
B
∈
R
n
×
r
в (4) имеет полный ранг по столбцам,
а матрица
A
∈
R
n
×
n
имеет множество собственных значений (спектр),
определенное следующим образом:
eig (A) =
{
λ
∈
C
: det (
λ
I
n
−
A) = 0
}
.
Здесь
I
n
— единичная матрица размера
n
×
n
;
C
— множество ком-
плексных чисел;
C
stab
в зависимости от типа
D
x(
t
)
обозначает левую
полуплоскость
C
−
плоскости
C
, т.е.
C
stab
.
=
C
−
, либо область внутри
круга единичного радиуса с центром в нуле, т.е.
C
stab
.
=
C
|
λ
|
<
1
. Здесь
|
λ
|
— модуль собственного значения
λ
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2 5