а в меридиональном направлении он совпадает с радиусом кривизны
дуги эллипса в этой же точке и равен [4]
R
1
(
z
∗
) =
a
2
b
2
x
2
∗
(
z
∗
)
a
4
+
z
2
∗
b
4
3
/
2
.
(9)
Используя выражения (7)–(9) и равенство
x
∗
=
a
1
−
z
2
∗
/b
2
, поз-
воляющее выразить первую координату точки
M
через ее третью ко-
ординату из уравнения рассматриваемого эллипсоида вращения, со-
гласно выражению (6), находим ИХР этого эллипсоида при
z
=
z
∗
:
F
(
z
∗
) = 2
π
x
2
∗
(
z
∗
)
b
4
+
z
2
∗
a
4 2
a
6
b
4
z
∗
x
∗
/z
∗
−
dx
∗
/dz
∗
1 + (
b/a
)
4
(
x
∗
/z
∗
)
2
sin
φ
(
z
∗
) cos
2
φ
(
z
∗
) =
= 2
π x
∗
(
z
∗
) +
z
2
∗
a
4
x
∗
(
z
∗
)
b
4
sin
φ
(
z
∗
) cos
2
φ
(
z
∗
)
.
(10)
При
z
∗
=
b
в правой части соотношения (10) возникает неопределен-
ность типа
0
/
0
, так как
x
∗
(
b
) = 0
и
sin
φ
(
b
) = 0
. Формальное раскры-
тие этой неопределенности позволяет найти
F
(
b
) = 2
πa
2
/b
, что гео-
метрически означает равенство обоих радиусов кривизны значению
a
2
/b
и возможность рассмотрения поверхности эллипсоида в малой
окрестности точки с аппликатой
z
∗
=
b
как сферической. Действи-
тельно, подстановка в равенство
F
◦
(
R
) = 2
πR
для сферы значения
R
=
a
2
/b
приводит к указанному выше значению для
F
(
b
)
.
Если кольцевой элемент поверхности образован вращением вокруг
оси
OZ
дуги с нулевой кривизной, то
R
1
→ ∞
. Так, например, при
вращении вокруг оси
OZ
отрезка прямой
MH
, где
H
(0
,
0
, h
)
∈
OZ
,
имеем элемент поверхности прямого кругового конуса (рис. 3). При
его облучении вдоль оси
OZ
для расчета ИХР непосредственное при-
менение равенств (6) невозможно, поскольку угол
φ
между норма-
лью к его боковой поверхности и осью
OZ
не зависит от
z
. Для
преодоления возникших трудностей рассмотрим элементарный уча-
сток поверхности кольцевого элемента с аппликатой
z
и площадью
dS
= 2
πR
2
(
z
)
dz/
sin
φ
= 2
π
(
H
−
z
) ctg
φ dz/
sin
φ
, где
H
— высота
рассматриваемой части конуса (см. рис. 3). Таким образом,
S
(
z
) =
z
0
dS
= 2
π
cos
φ
sin
2
φ
z
0
(
H
−
z
)
dz
= 2
π
cos
φ
sin
2
φ
(
Hz
−
z
2
/
2)
и согласно формуле (3)
F
(
z
) = 2
π
(
H
−
z
)
cos
3
φ
sin
2
φ
.
(11)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 4 17
