Рис. 1. Кольцевой элемент поверхности
где
φ
(
z
)
— угол между внешней нормалью к дуге в точке
M
и осью
OZ
, причем
φ
(
z
)
≤
φ
∗
≤
π/
2
и
φ
(
z
) = arccos
z
−
z
0
(
z
)
R
1
(
z
)
.
(5)
Так как для выпуклой дуги функция
φ
(
z
)
, согласно уравнению (5), в
пределах облучаемой части поверхности вращения (см. рис. 1) имеет
однозначную обратную функцию
z
(
φ
)
при
φ
∈
[0
, π/
2]
, то радиусы
кривизны
R
1
и
R
2
являются функциями угла
φ
, тогда перейдем к
рассмотрению функций
r
1
(
φ
) =
R
1
(
z
(
φ
))
и
r
2
(
φ
) =
R
2
(
z
(
φ
))
. Таким
образом, подынтегральная функция в правой части равенства (4) будет
явно зависеть лишь от переменного интегрирования и, как следствие,
F
(
z
) = 2
π
d
dz
φ
∗
φ
(
z
)
r
1
(
φ
)
r
2
(
φ
) sin
φ
cos
2
φ dφ.
Используя правило Лейбница дифференцирования интеграла по пара-
метру [2] с учетом уравнения (5) и очевидного равенства
1
−
z
−
z
0
(
z
)
2
/R
2
1
(
z
) = sin
φ
, приходим к следующей цепочке
равенств для определения ИХР лоцируемого объекта:
F
(
z
) = 2
π
r
1
(
φ
)
r
2
(
φ
) sin
φ
cos
2
φ
1
−
z
−
z
0
(
z
)
2
/R
2
1
(
z
)
×
×
1
−
dz
0
(
z
)
/dz
R
1
(
z
)
−
z
−
z
0
(
z
)
R
2
1
(
z
)
dR
1
(
z
)
dz
=
= 2
πR
2
(
z
) 1
−
dz
0
(
z
)
dz
−
dR
1
(
z
)
dz
cos
φ
(
z
) cos
2
φ
(
z
) =
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 4 15
