Подставим в (2)
ϕ
1
δ
(
t
)
и
ϕ
2
δ
(
t
)
вместо
ϕ
1
(
t
)
и
ϕ
2
(
t
)
соответственно,
а также введем расширенный вектор состояний
X
Σ
δ
= [X; Δ
U
int
(
t
)]
.
Тогда систему уравнений (2) запишем в виде
˙X
Σ
δ
= A
Σ
δ
(
t
)X
Σ
δ
,
(5)
где
A
Σ
δ
(
t
) =
A
−
B
ϕ
1
δ
(
t
)
K
int
F
(
ϕ
ДСМ
(
t
))
C
0
— блочная матрица размера
(
k
+ 1)
×
(
k
+ 1)
, для системы со схемой
ФНЧ
4
A
Σ
δ
(
t
) =
=
−
1
/T
3
1
/T
3
−
i
м
/
(2
πN
0
C
1
)
−
i
м
ϕ
1
δ
(
t
)
/
(2
πC
1
)
1
/T
1
−
1
/T
1
0
0
2
πS
УГ
0
0
0
K
int
F
(
ϕ
ДСМ
(
t
))
−
K
int
F
(
ϕ
ДСМ
(
t
))
0
0
.
Уравнение (5) представляет собой однородное линейное диффе-
ренциальное уравнение с периодическими коэффициентами, так как
A
Σ
δ
[
nT
0
] = A
Σ
δ
[
nT
0
+
T
ДСМ
]
, где
T
ДСМ
— период ДСМ-последователь-
ности. Особенность дифференциального уравнения (5) является нали-
чие
δ
(
t
)
-функций в составе матрицы
A
Σ
δ
(
t
)
. Используя методику ре-
шения дифференциальных уравнений, в состав которых входят обоб-
щенные функции (к ним относятся
δ
(
t
)
-функции и ее производные
[16]), решение (5) представим в виде рекуррентного соотношения
X
Σ
δ
[(
n
+ 1)
T
0
] = e
A
Σ3
[
nT
0
]
T
0
A
δx
[
nT
0
]X
Σ
δ
[
nT
0
]
,
(6)
где
A
δx
[
nT
0
] =
1
−
B
T
0
ϕ
ДСМ
[
nT
0
]
0
1
является блочной единичной
диагональной матрицей размера
(
k
+ 1)
×
(
k
+ 1)
,
в которой
(
k
+ 1)
-й
столбец заменен на
[
−
T
0
ϕ
ДСМ
[
nT
0
]B; 1]
; для схемы ФНЧ
4
A
δx
[
nT
0
] =
1 0 0
−
i
м
T
0
ϕ
ДСМ
[
nT
0
]
/
(2
πC
1
)
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0
1
определяет скачок вектора состояния в момент времени
nT
0
.
Выражение (6) значительно проще (4) и по нему определена кри-
вая
3
переходного процесса, приведенная на рис. 5. Сравнение кривых
1
и
3
показывает, что даже при довольно малых отклонениях
Δ
U
int
(
t
)
от положения равновесия они очень близки. Поэтому в первом при-
ближении оценка времени адаптации может быть проведена с исполь-
зованием выражения (6).
Определение времени адаптации.
Перейдем к детальному опре-
делению времени адаптации с применением выражения (6). Если по
32 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2013. № 1
