Пусть
E
i
1
E
i
2
= [
e
i
1
. . . e
id
i
]
,
(11)
где
[
e
i
1
. . . e
id
i
]
— это левые сингулярные векторы, соответствующие
d
i
наибольшим сингулярным числам матрицы
ˆ
R
i
. Аппроксимация ранга
d
i
матрицы
ˆ
R
i
имеет вид
d
i
j
=1
λ
ij
e
ij
v
∗
ij
=
E
i
1
E
i
2
=
⎛
⎜⎝
λ
i
1
· · · · · ·
...
. . .
...
· · · · · ·
λ
id
i
⎞
⎟⎠
[
V
∗
i
1
V
∗
i
2
]
,
(12)
[
e
i
1
. . . e
id
i
]
примерно образуют сигнальное подпространство. Необхо-
димо найти набор векторов, ближайший к оцененному подпростран-
ству. Если выбрать норму Фробениуса в качестве меры близости, то
получается следующая задача минимизации:
min
A
i
,
Φ
i
,T
E
i
1
E
i
2
−
A
i
A
i
Φ
i
T
F
.
(13)
Пусть
B
i
=
A
i
T
и
Ψ
i
=
T
−
1
i
Φ
i
T
i
, тогда задачу (13) можно пере-
писать в виде
min
B
i
,
Ψ
i
E
i
1
E
i
2
−
B
i
B
i
Ψ
i
F
.
(14)
Минимизация
Ψ
i
соответствует оценке методом полных наимень-
ших квадратов (TLS) оператора, который переводит
E
i
1
в
E
i
2
.
Оценка
Ψ
i
методом полных наименьших квадратов получается при
решении следующей задачи минимизации:
Ψ
i
1
Ψ
i
2
TLS
= arg min
Ψ
i
1
,
Ψ
i
2
[
E
i
1
E
i
2
]
Ψ
i
1
Ψ
i
2
F
,
(15)
где
Ψ
i
1
и
Ψ
i
2
имеют ранг
d
i
×
d
i
. Чтобы избежать тривиального реше-
ния, нужно наложить ограничение на задачу (15):
[Ψ
∗
i
1
Ψ
∗
i
2
]
Ψ
i
1
Ψ
i
2
=
I.
(16)
Решение задачи (15) получается благодаря следующему разложению
по собственным числам:
[
E
∗
i
1
E
∗
i
2
]
E
i
1
E
i
2
=
2
d
i
j
=1
λ
ij
u
ij
u
∗
ij
,
(17)
где
λ
i
1
≤
λ
i
2
≤ · · · ≤
λ
i
2
d
i
. Собственные векторы, соответствующие
минимальным собственным значениям, достигают минимума в задаче
80 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2010. № 1
