Левые сингулярные векторы
E
i
1
E
i
2
матрицы вычетов в
i
-м по-
люсе, соответствующие ненулевым сингулярным значениям образуют
модальное сигнальное подпространство. Значит, существует матрица
T
полного ранга
d
i
×
d
i
, такая что
E
i
1
E
i
2
=
A
i
A
i
Φ
i
T .
Это приводит к выражению
E
i
2
=
E
i
1
T
−
1
Φ
i
T .
Таким образом, собственные значения оператора, который транс-
формирует
E
i
1
в
E
i
2
, соответствуют диагональным элементам
p
t
j
i
ма-
трицы
Φ
i
. Зная эти собственные числа и соответствующий полюс,
можно оценить временн ´ые задержки
t
j
,
j
= 1
, . . . , d
. Соотношение
для определения направления прихода сигнала от источника, имею-
щего
i
-й полюс, записывается как
θ
j
= sin
−
1
ct
j
Δ
, j
= 1
, . . . , d
−
i.
Чтобы избежать неоднозначности, потребуем
Δ
≤
c/f
s
, где
f
s
— ча-
стота дискретизации.
Широкополосный алгоритм ESPRIT.
Предыдущие разделы по-
зволяют сформулировать широкополосный алгоритм ESPRIT. Выход
АР моделируется как выход многомерной линейной системы, возбу-
ждаемой источниками белого шума. Матрица вычетов в полюсе си-
стемы образует модальное сигнальное подпространство источников,
имеющих такой же полюс. Это подпространство имеет инвариантную
структуру, используемую алгоритмом ESPRIT при определении углов
прихода сигнала. Основные шаги алгоритма следующие.
1. Оценить ковариационную матрицу выхода АР.
2. Оценить полюсы системы и вычеты в них.
3. Определить размерность сигнального подпространства в полю-
сах системы и найти векторы, образующие это подпространство.
4. Оценить оператор, который переводит столбцы
E
i
1
в
E
i
2
.
5. На основе собственных значений этого оператора и полюсов
системы оценить углы прихода сигнала.
Переопределенная система уравнений Юла–Уокера для оценки по-
люсов.
Существует несколько методов для оценки полюсов
p
i
и вы-
четов
R
i
многомерной линейной системы. При учете предыдущих
допущений модальное разложение спектральной плотности имеет вид
S
zz
(
z
) =
M
+
N
i
=1
R
i
1
−
p
i
z
−
1
+
R
∗
i
1
−
p
∗
i
z
+
W
(
z
)
.
(5)
78 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2010. № 1
