Если
C
k
=
C
т
−
k
=
E
{
z
(
l
)
z
т
(
l
−
k
)
}
—
k
-й ковариационный лаг, то
S
zz
(
z
) =
∞
k
=
−∞
C
k
z
−
k
.
(6)
Приравнивая каузальные части уравнений (5) и (6), получаем
M
+
N
i
=1
R
i
1
−
p
i
z
−
1
+
W
c
(
z
) =
∞
k
=0
C
k
z
−
k
,
где
W
c
(
z
)
— каузальная часть
W
(
z
)
. Умножая обе части на
d
(
z
) =
M
+
N
i
=1
(1
−
p
i
z
−
1
)
и определяя коэффициенты, соответствующие степеням
z
−
1
, б´ольшим,
чем наивысшая степень
l
max
, встречающаяся в
W
c
(
z
)
d
(
z
)
, получаем
C
l
+
C
l
+1
d
1
+
· · ·
+
C
l
+
M
+
N
d
M
+
N
= 0
, l
=
l
max
+ 1
, l
max
+ 2
. . . ,
(7)
где
d
(
z
) = 1 +
d
1
z
−
1
+
· · ·
+
d
M
+
N
z
−
(
M
+
N
)
= 0
.
(8)
Уравнение (7) может быть решено методом наименьших квадратов
при данных оценках ковариационных матриц
C
k
. Полюсы системы —
корни полинома
d
(
z
)
.
Оценка вычетов.
Зная полюс системы, вычеты можно оценить сле-
дующим образом. Раскрывая полином знаменателя в уравнении (5) по
z
и
z
−
1
и сравнивая коэффициенты при степенях
z
−
1
с уравнением (6),
можно получить следующее уравнение:
R
1
p
r
1
+
· · ·
+
R
M
+
N
p
r
M
+
N
=
C
r
, r
=
r
max
+ 1
, r
max
+ 2
, . . . ,
(9)
где
r
max
— наибольшая степень
z
−
1
в
W
(
z
)
. По оценкам полюсов си-
стемы и ковариационных лагов, можно получить вычеты из решения
уравнения (9) методом наименьших квадратов. Качество оценки ухуд-
шается по мере возрастания нулей и полюсов в модели.
Нахождение оператора поворота и углов прихода сигналов.
Как
только оценки вычетов получены, должны быть оценены векторы,
образующие сигнальное подпространство. Размерность
d
i
сигнального
подпространства в полюсе системы
p
i
должна быть определена. Это
является задачей обнаружения, и в данном алгоритме она отделена от
задачи оценки параметров.
Разложение по сингулярным числам (SVD) оценки матрицы выче-
тов
ˆ
R
i
имеет вид
ˆ
R
i
=
2
m
j
=1
λ
ij
e
ij
v
∗
ij
.
(10)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2010. № 1 79
