Спектральная плотность мощности на выходе решетки имеет по-
люсы
p
i
и
p
−∗
i
(
i
= 1
, . . . , M
+
N
). Модальное разложение спектральной
плотности будет иметь вид
S
zz
(
z
) =
M
+
N
i
=1
R
i
1
−
p
i
z
−
1
)
+
R
∗
i
1
−
p
∗
i
z
+
W
(
z
)
,
где
R
i
— матрица вычетов
i
-го полюса размером
2
m
×
2
m
,
R
i
= lim
z
→
p
i
(1
−
p
i
z
−
1
)
S
zz
(
z
);
W
(
z
)
— спектральная плотность слагаемого скользящего среднего,
отвечающего за нули системы; звездочка обозначает операцию эрми-
тового транспонирования.
Каждой строке
P
(
z
) =
E
{
s
(
z
)
s
т
(
z
−
1
)
}
может быть поставлен в
соответствие источник сигнала. Пусть
P
1
/
2
(
z
)
— минимально фазовый
спектральный множитель матрицы
P
(
z
)
, который имеет полный ранг.
Если
j
-й источник не содержит
i
-го полюса, то
k
-я строка матрицы
lim
z
→
p
i
(1
−
p
i
z
−
1
)
P
(
z
) = lim
z
→
p
i
(1
−
p
i
z
−
1
)
P
1
/
2
(
z
)
P
1
/
2
(
z
−
1
)
будет нулевой. Пусть
P
1
/
2
i
(
i
= 1
, . . . , M
) — ненулевые строки матрицы
lim
z
→
p
i
(1
−
p
i
z
−
1
)
P
1
/
2
(
z
)
, а
J
— матрица селекции размера
d
i
×
d
, такая,
что
P
1
/
2
i
=
J
i
lim
z
→
p
i
(1
−
p
i
z
−
1
)
P
1
/
2
(
z
)
.
Можно показать, что
R
i
=
A
i
A
i
Φ
i
P
1
/
2
i
P
1
/
2
(
p
−
1
i
)=
A
т
(
p
−
1
i
)Φ(
p
−
1
i
)
A
т
(
p
−
1
i
) (
i
= 1
, . . . , M
)
,
(3)
где
A
i
=
A
(
p
i
)
J
т
i
и
Φ
i
=
J
i
Φ(
p
i
)
J
т
i
. Предполагается, что нули и
полюсы
P
1
/
2
(
z
)
находятся внутри единичной окружности, поэтому
P
1
/
2
(
p
i
)
всегда будет иметь ранг
d
. Также предполагается, что ранг
матрицы
[
A
т
(
p
−
1
i
)Φ(
p
−
1
i
)
A
т
(
p
−
1
i
)]
всегда больше либо равен
d
. Тогда
из выражения (3) можно увидеть, что пространство столбцов матрицы
R
i
образуется матрицей
A
i
A
i
Φ
i
P
1
/
2
i
,
(4)
где
P
1
/
2
i
имеет размер
d
×
d
и полный ранг. Локальная размерность
множества решетки предполагается больше, чем
d
i
; следовательно,
R
i
имеет ранг
d
i
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2010. № 1 77
