6 / 13
Об одном подходе к идентификации дискретной системы на основе матричных делителей нуля
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2017. № 3
25
или
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
;
.
N
N R
R
N R L
N
N
N
N
R
R
N R
L
L
−
⊥
⊥
⊥
⊥
−
−
−
⊥
⊥
⊥
−
⊥
−
⊥
−
−
−
−
=
+
= −
−
+
A X U X U η X U
B X I U X U X U η X U X U φU
(23)
Здесь
, , ,
μ χ η φ
— произвольные матрицы подходящего размера.
Ясно, что однозначность решений (отсутствие произвола в (22), (23)) суще-
ствует, когда искомые матрицы выражаются формулами
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
;
R
R
N
N
N
N
R
R
N N
N
−
⊥
⊥
−
−
−
−
−
⊥
⊥
−
−
= −
=
A X I X UX U X
B X X UX
(24)
или
(
)
(
)
(
)
1
1
1
;
,
N
N R
R
N
N
N
R
R
−
⊥
⊥
−
−
⊥
⊥
−
−
−
=
= −
A X U X U
B X I U X U X U
(25)
и достигается, если строго выполняются тождества
(
)
1
1
0,
0;
L
R
N
N L
⊥
⊥
⊥
−
−
=
=
X
UX
(26)
(
)
1
0,
0.
L
N R L
⊥
⊥
⊥
−
=
=
U X U
(27)
Тогда это и есть алгебраическая форма
критерия идентифицируемости
.
Поясним сделанное утверждение. Согласно (18), (26) и (27) линейная рекур-
сивная система (2) идентифицируема тогда и только тогда, когда не только мат-
рицы
(
)
(
)
1
0 1
2
1
0 1 2
2
1
...
;
...
N
N N
N N
x x
x
x
u u u
u u
−
−
−
−
−
=
=
X
U
(28)
не имеют линейно зависимых строк (т. е. их левые делители нуля равны нулю),
но не имеют линейно зависимых строк и произведения матриц
(
) (
)
0 1 2
2
1 0 1
2
1
1
...
...
;
R
N N
N N
N
R
u u u
u u x x
x x
⊥
⊥
−
−
−
−
−
=
UX
(
) (
)
1
0 1
2
1 0 1 2
2
1
...
...
.
N
N N
N N
R
R
x x
x x u u u
u u
⊥
⊥
−
−
−
−
−
=
X U
В указанном выше частном случае (4), (5), когда матрица
1
N
−
X
(28) имеет
квадратный вид
(
)
,
N n
=
согласно (26) для идентифицируемости системы (2),
действительно, необходимо и достаточно обеспечить невырожденность матри-
цы
(
)
0 1
2
1
det
...
0.
N N
x x
x x
−
−
≠
Объединение выражений (22), (23), (26) и (27) в силу их эквивалентности
позволяет записать формулы решения задачи идентификации в более компакт-
ном виде