17 / 19
всех шагах БОПХ будет равно
A
Б
=
p
n
−
1
[
n
(
p
2
−
1)
−
p
] + 1
.
(43)
Сравним вычислительную сложность прямых и быстрых алгорит-
мов. Для этого воспользуемся относительными коэффициентами по
умножениям
θ
М
=
M
П
/M
Б
и сложениям
θ
A
=
A
П
/A
Б
. С учетом фор-
мул (9), (42) и (43) они будут равны
θ
М
=
p
2
n
p
n
−
1
[
p
(
p
−
2) +
n
(
p
−
1)]
−
p
+ 2
≈
p
n
+1
p
(
p
−
2) +
n
(
p
−
1)
,
θ
A
=
p
n
(
p
n
−
1)
p
n
−
1
[
n
(
p
2
−
1)
−
p
] + 1
≈
p
n
+1
n
(
p
2
−
1)
−
p
.
Даже при наименьших возможных значениях
p
= 2
и
n
= 2
эти
коэффициенты существенно больше единицы. С увеличением
p
и
n
они быстро возрастают.
Следует отметить, что при конкретных значениях
p
реальное число
умножений и сложений в БОПХ может быть дополнительно умень-
шено за счет исключения тривиальных умножений на нули и еди-
ницы и более рациональной организации вычислительного процесса.
При этом будут получены эффективные оптимизированные алгоритмы
БОПХ.
Заключение.
Разработаны теоретические основы скалярного ме-
тода синтеза быстрых преобразований в базисах новых дискретных ве-
щественных параметрических обобщенных функций Хартли для раз-
личных способов их упорядочения. Полученные алгоритмы быстрого
анализа обобщенного спектра Хартли имеют высокую вычислитель-
ную эффективность и могут использоваться в качестве действенно-
го инструмента спектрального анализа при решении различных задач
ЦОС. Они носят обобщенный характер и при конкретных значениях
параметра
p
могут приводить как к известным, так и к новым резуль-
татам. Так, например, при
p
= 2
и
p
= 4
, когда ОФХ превращаются
в функции Уолша, быстрые обобщенные преобразования Хартли пе-
реходят в соответствующие быстрые преобразования Уолша [14]. Ин-
тересно, что при
p
=
N
и
n
= 1
, когда ОФХ становятся обычными
функциями Хартли, БОПХ переходят не в быстрые преобразования
Хартли, а в обычные ДПФ Хартли, причем при любом способе упо-
рядочения ОФХ.
Обобщенный характер новых быстрых преобразований Хартли по-
зволяет использовать их как при обобщении алгоритмов решения из-
вестных задач ЦОС, так и при решении новых задач обработки сиг-
налов любой формы. Расширению области прикладного применения
БОПХ будет способствовать разработка специальных быстрых проце-
дур анализа скользящего спектра, используемых в обработке сигналов
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 6 79