5 / 18
k
-й уровень (
k
= 1
, J
−
1
,
J
= ceil[(
n
+
m
)
/n
]
−
1
)
A
k
=
B
⊥
k
−
1
A
k
−
1
B
⊥−
k
−
1
, B
k
=
B
⊥
k
−
1
A
k
−
1
B
k
−
1
.
(16)
Здесь
J
— конечный уровень декомпозиции;
B
⊥
k
— аннулятор (делитель
нуля) матрицы
B
k
, т.е.
B
⊥
k
B
k
= 0
;
B
⊥−
k
— 2-полуобратная матрица
для
B
⊥
k
[5, 6], т.е. матрица, удовлетворяющая условиям регулярности
B
⊥
k
B
⊥−
k
B
⊥
k
=
B
⊥
k
, B
⊥−
k
B
⊥
k
B
⊥−
k
=
B
⊥−
k
.
(17)
Тогда, в соответствии с [6], искомая матрица
L
=
L
0
∈
R
m
×
n
,
обеспечивающая точное размещение полюсов
A
0
−
B
0
L
0
, вычисляется
по рекурсивным формулам:
L
J
=
B
+
J
A
J
−
Φ
J
B
+
J
,
(18)
L
k
=
B
−
k
A
k
−
Φ
k
B
−
k
, B
−
k
=
L
k
+1
B
⊥
k
+
B
+
k
, k
= 0
, J
−
1
,
(19)
где
B
+
k
— псевдообратная матрица Мура – Пенроуза для
B
k
.
Это действительно так, поскольку все элементы множества соб-
ственных значений матриц
A
0
−
B
0
L
0
, A
D
p
−
L
T
0
C
p
=
A
D
p
−
L
T
p
C
p
совпадают с собственными значениями заданных устойчивых матриц
Φ
k
в (19), (20) (т.е. заданных собственных значений, лежащих внутри
единичного круга на комплексной плоскости
C
stab
):
eig (
A
0
−
B
0
L
0
) = eig
A
D
p
−
L
T
0
C
p
=
[
J
eig (Φ
k
)
.
Описанный алгоритм предполагает, что матрицы
B
i
в формулах
(18)–(20) имеют полный ранг по столбцам, что в общем случае может
не выполняться. В случае, если некоторые матрицы
B
i
не являются
матрицами полного ранга по столбцам (имеют дефект, либо ранг по
строкам превышает ранг по столбцам), то воспользоваться алгоритмом
впрямую нельзя. Он должен быть доработан следующим образом.
Хорошо известно, что любая числовая матрица неполного ранга
путем внешнего произведения может быть “скелетно” разложена на
две (неединственные [6]) матрицы полного ранга, например, следую-
щего вида:
B
i
=
_
B
i
T .
(20)
Если приведенный алгоритм после появления дефекта ранга “пе-
резапустить”, но уже для пары матриц
A
i
,
_
B
i
, то в результате по-
явится новый (
i
−
1
)-й уровень декомпозиции
A
i,i
−
1
=
A
i
, B
i,i
−
1
=
_
B
i
,
(21)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 6 7