3 / 18
I
4
— единичная матрица порядка 4;
A
=
0
−
ω
x
−
ω
y
−
ω
z
ω
x
0
ω
z
−
ω
y
ω
y
−
ω
z
0
ω
x
ω
z
ω
y
−
ω
x
0
.
Терминальное модальное управление переориентацией КА.
Для аналитического решения (2) введем обозначения
x
x
(
τ
) =
= [
λ
0
, λ
1
, λ
2
, λ
3
]
T
и запишем его следующим образом:
x
x
(
t
к
) =
G
(
t, ω, t
к
) x
x
(
t
)
.
(3)
Здесь
G
(
t
0
, ω, t
к
) = cos
ωt
2
I
4
+
1
ω
sin
ωt
2
A
.
Построим (условную) дискретную систему следующего вида:
x
D
p
(
τ
+ 1) =
A
D
x
D
p
(
τ
)
,
y(
τ
) =
C
p
x
D
p
(
τ
)
,
(4)
где
τ
= 0
,
1
,
2
, . . . , N
— дискретное время, определяемое на основе
ввода на отрезке времени управления
t
∈
[
t
0
;
t
к
]
равномерной сетки
из
N
интервалов c шагом
h
= (
t
к
−
t
0
)
/N
так, что
t
τ
=
t
0
+
τh
и
t
N
=
t
к
. Прогнозируемый расширенный вектор
x
D
p
(
τ
)
включает в себя
компоненты
x
x
(
τ
) = x(
τ
)
и
ω
, при этом матрицы в (4) имеют вид
A
D
=
I
(
n
+
m
)
×
(
n
+
m
)
, C
p
=
I
n
×
n
0
n
×
m
.
(5)
Построим для системы (4) наблюдатель состояния полного ранга.
В общем виде он определяется уравнением [3]:
ˆx
D
p
(
τ
+ 1) =
A
D
−
L
p
C
p
ˆx
D
p
(
τ
) +
L
p
y (
τ
)
.
(6)
Оценка
ˆx
x
(
t
к
)
запишется так:
ˆx
x
(
t
к
) =
G
(
t, ω, t
к
) x
x
(
t
)
.
Линеаризуем функцию
G
(
t, ω, t
к
)
в окрестности
ˆ
ω
, используя раз-
ложение в ряд Тейлора. В результате будем иметь
G
(
t, ω, t
к
) =
G
(
t,
ˆ
ω, t
к
) +
∂G
(
t,
ˆ
ω, t
к
)
∂ω
˜
ω,
(7)
где
∂G
(
t,
ˆ
ω, t
к
)
∂ω
— матрица Якоби,
˜
ω
=
ω
−
ˆ
ω
. Вычисляя далее вектор
невязок
˜x
x
, получаем
˜x
x
(
τ
+ 1) =
∂G
(
t,
ˆ
ω, t
к
)
∂ω
˜
ω
(
τ
)
.
(8)
Объединим
˜x
x
и
˜
ω
в единый вектор и, используя (6), с учетом (4)
получим дискретную модель уравнения невязок
˜x
p
(
τ
+ 1) =
A
D
p
−
L
p
C
p
˜x
p
(
τ
)
,
(9)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 6 5