Задача характеризуется матрицей
A
н
, состоящей из неизвестных
параметров:
A
н
=
⎡
⎢⎢⎣
a
н
10
a
н
11
. . . a
н
1
m
a
н
20
a
н
21
. . . a
н
2
m
. . . . . . . . . . . .
a
н
n
0
a
н
n
1
. . . a
н
nm
⎤
⎥⎥⎦
N
×
(
m
+1)
,
в которой число строк соответствует числу
N
промежутков разбиения,
а число столбцов — числу (
m
+1
) нечетких коэффициентов многочлена
m
-й степени.
Рассмотрим решение задачи нечеткой интерполяции сплайнами на
примере простейших задач.
Нечеткийлинейныйсплайн
. В случае использования нечеткого
линейного сплайна в выражении (2)
m
= 2
и аппроксимирующий
многочлен будет иметь вид
S
н
nm
=
2
i
=0
a
н
ni
x
i
=
a
н
n
0
+
a
н
n
1
x, x
∈
[
x
n
−
1
, x
n
]
, n
= 1
, N.
(3)
Общее число неизвестных параметров равно
n
(
m
+ 1)
|
m
=1
= 2
n
.
Для их нахождения имеем следующие исходные данные. Для не-
четкой функции
f
н
(
x
) : (
x
k
, f
н
k
)
, k
= 0
, N
. Это приводит к решению
совокупности нечетких линейных систем для нахождения
a
н
n
0
,
a
н
n
1
:
X
i
A
н
i
=
L
н
i
, i
= 1
, N,
где
X
i
=
1
x
i
−
1
1
x
i
,
A
н
i
=
a
н
i
0
a
н
i
1
,
L
н
i
=
f
н
i
−
1
f
н
i
,
X
i
=
0.
Для нахождения
2
N
неизвестных параметров имеем
2
N
линейных
уравнений с нечеткими правыми частями. Искомые решения получа-
ются в соответствии с теорией НЛС. Сильные и слабые ее решения
соответственно будут определять сильный и слабый интерполяцион-
ные многочлены 1-го порядка.
Вид сплайна (3) обычно получается из решения следующей вари-
ационной задачи [4]:
min
s
(
x
) =
x
N
=
f
н
N
x
0
=
f
н
0
[ ˙
s
(
x
)]
2
dx
(4)
с нечеткими неподвижными границами, что соответствует поиску
функции с наименьшей нормой
||
˙
s
||
L
2
, т.е. ищется наиболее гладкая
функция
s
(
x
)
:
s
н
(
x
)
|
x
=
x
k
=
f
н
k
, k
= 0
, N.
Подынтегральная функция
L
(
x, s,
˙
s
) = [ ˙
s
(
x
)]
2
в (4) зависит только
от первой производной
˙
s
(
x
)
, поэтому уравнение Эйлера будет иметь
52 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 2
