В последние десятилетия достигнуты также заметные успехи в
решении различных задач с применением нечетких линейных систем
(НЛС) в вычислительной математике, теории управления и других
областях [1–3].
В настоящей работе синтезированы алгоритмы нечеткой сплайно-
вой интерполяции, основанные на теории НЛС, и приведены резуль-
таты моделирования нечетких сплайнов первого порядка и нечетких
кубических сплайнов, которые указывают на существование сильной
и слабой нечеткой сплайновой интерполяции.
Базовые определения
. Нечеткое число
x
н
∈
R
1
определяется
как отображение
r
:
R
1
→
[0
,
1]
∈
R
1
, где
r
(
x
)
— функция при-
надлежности. Из-за отсутствия взаимной однозначности выделяются
левая
r
¯
(
x
)
и правая
r
(
x
)
ветви относительно
r
(
x
) = 1
, каждая из
которых определяет уже взаимно-однозначное отображение. В тео-
рии нечетких множеств используется эквивалентная уровневая форма
представления нечеткого числа, задаваемая как обратное отображение
r
−
1
: [0
,
1]
∈
R
1
→
R
1
. Для отображения
x
(
r
)
,
r
∈
[0
,
1]
, выделяются
нижняя
x
(
r
)
и верхняя
x
(
r
)
ветви.
Таким образом, для нечеткого числа
x
н
∈
R
1
используется цепочка
эквивалентных представлений:
x
н
∈
R
1
⇔
r
(
x
)
, r
∈
[0
,
1]
⇔
(
r
(
x
);
r
(
x
)
/x
∈
R
1
, r, r
∈
[0
,
1])
⇔
(
x
(
r
)
, x
(
r
)
/
0
≤
r
≤
1)
.
Относительно функции
r
(
x
)
должны выполняться следующие
свойства:
•
функция
r
(
x
)
полунепрерывна сверху;
•
функция
r
(
x
)
монотонно возрастает;
•
функция
r
(
x
)
монотонно убывает.
Кроме того, для
x
(
r
)
должно выполняться условие
x
(
r
)
≤
x
(
r
)
.
Если
x
(
r
)
имеет треугольную форму, то перечисленные свойства вы-
полняются для остроугольного треугольника, тогда как не каждый ту-
поугольный треугольник может изображать нечеткое число. Обычно
применяется обозначение
x
н
⇔
(
x
(
r
)
, x
(
r
)
/
0
≤
r
≤
1)
.
Арифметические операции сложения (
+
), вычитания (
−
), умно-
жения (
×
) и деления (
÷
)
для нечетких чисел
x
н
и
y
н
определяются
соотношением
x
н
∗
y
н
=
z
н
⇔
max
x
н
∗
min
y
н
=
z
н
((
r
(
x
)
, r
(
y
))
.
Операции сравнения больше–равно (
≥
)
, меньше–равно (
≤
)
следу-
ют из определения. Имеем нечеткие числа
x
н
и
y
н
такие, что
x
н
⇔
(
x
(
r
)
, x
(
r
)
/
0
≤
r
≤
1)
, y
н
⇔
(
y
(
r
)
, y
(
r
)
/
0
≤
r
≤
1)
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 2 49
