Тогда
x
н
≷
y
н
, если
T
(
x
н
) =
1
0
r
[
x
(
r
) +
x
(
r
)]
dr
≷
T
(
y
н
) =
1
0
r
[
y
(
r
) +
y
(
r
)]
dr.
(1)
Совокупность нечетких чисел образует банахово пространство [1].
Нечеткая функция
ϕ
н
(
x
)
определяется как отображение
ϕ
н
:
R
1
→
F
=
{
r
(
x
)
}
,
где
F
— совокупность функций принадлежностей
r
(
x
)
. Это отображе-
ние параметризуется относительно
r
∈
[0
,
1]
и может быть предста-
влено в виде [1]
ϕ
н
(
x
) = (
ϕ
(
x, r
)
, ϕ
(
x, r
)
/
0
≤
r
≤
1)
.
По аналогии с выражением (1) для нечеткой функции
ϕ
н
(
x
)
вво-
дится критерий
T
(
ϕ
н
(
x
)) =
1
0
r
[
ϕ
(
x, r
) +
ϕ
(
x, r
)]
dr.
Имеют место следующие утверждения:
1) нечеткая функция
ϕ
н
(
x
)
монотонно возрастает (убывает), если
для любых
x
1
и
x
2
выполняется
x
1
≤
x
2
⇒
T
(
ϕ
н
(
x
1
))
≤
T
(
ϕ
н
(
x
2
)) (
x
2
≤
x
1
⇒
T
(
ϕ
н
(
x
2
))
≤
T
(
ϕ
н
(
x
1
)));
2) нечеткая функция
ϕ
н
(
x
)
непрерывна для
x
∈
[
c, d
]
⊂
R
1
, если
T
(
ϕ
н
(
x
))
непрерывна;
3) нечеткая функция
ϕ
н
(
x
)
дифференцируема, если
T
(
ϕ
н
(
x
))
диф-
ференцируема. Производная от нечеткой функции
˙
ϕ
н
(
x
) =
∂
∂x
ϕ
(
r, x
);
∂
∂x
ϕ
(
r, x
)
/
0
≤
r
≤
1 ;
4) нечеткая функция
ϕ
н
(
x
)
интегрируема по Риману, если
T
(
ϕ
н
(
x
))
интегрируема. Интеграл от нечеткой функции
d
с
ϕ
н
(
x
)
dx
=
⎛
⎝
d
с
ϕ
(
r, x
)
dx
;
d
с
ϕ
(
r, x
)
dx/
0
≤
r
≤
1
⎞
⎠
.
Приведенные утверждения показывают, что нетрудно сконструи-
ровать нечеткие аналоги основных структур классического матема-
тического анализа: нечеткие дифференциалы, нечеткие точки переги-
ба, нечеткие касательные, максимумы (минимумы) нечеткой функции
и т.д.
50 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 2
