в системе с сухим трением, соответствующим характеристике, представлен-
ной на рис. 2 [5]. Пусть при скорости скольжения
˙
θ
= ˙
θ
0
ГС находится в
покое
( ˙
α
= 0)
и, следовательно,
˙
θ
0
= ˙
ψ
0
. Этой скорости соответствует мо-
мент сухого трения
F
0
, при этом
α
=
α
0
. Из уравнения состояния равновесия
F
0
−
Cα
0
= 0
следует
α
0
=
F
0
/C.
(5)
Теперь рассмотрим движение ГС около положения равновесия. Пусть
Δ
α
— угловое отклонение ГС относительно положения равновесия, тогда
α
=
α
0
+ Δ
α
. При этом скорость скольжения перестает быть постоянной
величиной и определяется разностью скоростей
˙
θ
= ˙
ψ
0
−
Δ ˙
α
. Момент трения
F
отличается от номинального значения
F
0
. При малых колебаниях, когда
скорость
Δ ˙
α
мала по сравнению с
˙
ψ
0
, можно принять
F
=
F
0
+
F
0
0
Δ ˙
α,
где
F
0
0
=
dF
d
˙
θ
˙
θ
0
, тогда дифференциальное уравнение (4) запишется в виде
A
Δ¨
α
+
C
(
α
0
+ Δ
α
) =
F
0
+
F
0
0
Δ ˙
α,
или с учетом (5)
A
Δ¨
α
+
C
Δ
α
+
F
0
0
Δ ˙
α
= 0
.
(6)
При
F
0
0
>
0
, что соответствует участку нелинейной характеристики, где
˙
θ >
˙
θ
, колебания будут затухать, состояние равновесия устойчиво, если
же
˙
θ <
˙
θ
, то
F
0
0
<
0
и состояние равновесия неустойчиво и любое сколь
угодно малое возмущение приводит к раскачке системы, но при этом все
более заметную роль начинает играть кубическая составляющая сухого тре-
ния. Возрастание колебаний постепенно замедляется и движение стремится
к некоторому стационарному режиму — режиму автоколебаний. Посколь-
ку современная теория фрикционных автоколебаний не имеет достоверного,
точного метода их расчета, то нелинейную задачу, как правило, решают при-
ближенными методами, например методом осреднения [6] или, как в нашем
случае, нелинейное уравнение (4) решается методом гармонической линеа-
ризации [7].
В соответствии с методом гармонической линеаризации периодическое
решение нелинейного уравнения будем искать в виде
˙
α
=
a
0
sin
ωt
,
a
0
=
aω
,
а угловую скорость скольжения
˙
θ
примем равной
˙
θ
=
aω
sin
ωt
−
˙
ψ
0
,
где
˙
ψ
0
— угловая скорость движения основания.
Осуществляя гармоническую линеаризацию нелинейной функции сухо-
го трения и учитывая аддитивные свойства коэффициентов гармонической
линеаризации, можно записать
sign( ˙
α
−
˙
ψ
0
) =
q
1
(
a
0
,
˙
ψ
0
)( ˙
α
−
˙
ψ
0
);
( ˙
α
−
˙
ψ
0
)
3
=
q
3
(
a
0
,
˙
ψ
0
)( ˙
α
−
˙
ψ
0
)
.
(7)
здесь
q
1
(
a
0
,
˙
ψ
0
)
и
q
3
(
a
0
,
˙
ψ
0
)
— коэффициенты гармонической линеаризации
соответственно кулонова трения и кубической составляющей сухого трения,
32 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2
