На входе линейного оптимального фильтра в общем случае наблю-
дается сигнал
z (
t
)
, являющийся линейной комбинацией компонент
вектора состояния
x (
t
)
и нормального белого шума
v (
t
)
:
z (
t
) = H (
t
) x (
t
) + v (
t
)
.
(3)
Уравнение (3) называют уравнением наблюдения, а матрицу
H (
t
)
— матрицей наблюдений. Корреляционную функцию шума в канале
связи можно представить как
v (
t
) v
т
(
τ
) = R (
t
)
δ
(
t
−
τ
)
.
Оптимальный приемник (фильтр), дающий несмещенную (с ми-
нимальной дисперсией) оценку
ˆx (
t
)
вектора
x (
t
)
при условии, что
v (
t
)
— ГБШ с нулевым средним, представляет собой динамическую
систему, описываемую матричным ДУ [3] (ДУ оценки):
d
dt
ˆx (
t
) = Φ (
t
) ˆx (
t
) + K (
t
) [z (
t
)
−
H (
t
) ˆx (
t
)]
,
(4)
где
K (
t
)
— матрица коэффициентов усиления в прямой цепи (в общем
случае зависящих от времени), определяемая через матрицу наблюде-
ния, ковариационную матрицу шума и матрицу ковариаций ошибок
измерений
P (
t
)
:
K (
t
) = P (
t
) H
т
(
t
) R
−
1
(
t
)
,
(5)
которая, в свою очередь, определяется изматричного дифференциаль-
ного уравнения Риккати:
⎧⎪⎪⎨
⎪⎩
˙P (
t
) = Φ (
t
) P (
t
) + P (
t
) Φ
т
(
t
)
−
−
P (
t
) H
т
(
t
) R
−
1
(
t
) H (
t
) P (
t
) + G (
t
) Q (
t
) G
т
(
t
)
,
P (0) = P
0
.
Рассмотрим случай, когда принимаемый сигнал (1) модулирован
по частоте нормальным случайным процессом с ограниченным спек-
тром, а спектр частотной модуляции совпадает со спектром сигнала на
выходе апериодического звена первого порядка с передаточной функ-
цией
W
(
p
) = 1
/
(1 +
T p
)
, возбуждаемого нормальным белым шумом
u
1
(
t
)
с нулевым средним значением и корреляционной функцией
u
1
(
t
)
u
1
(
τ
) =
q
1
δ
(
t
−
τ
)
.
В этом случае текущая частота
ω
(
t
)
передаваемого сигнала опре-
деляется соотношением
ω
(
t
) =
ω
c
+
u
1
(
t
)
1 +
T p
,
(6)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2008. № 1 5
