b
+
— вектор, обратный вектору
b
, т.е.
b
+
b = 1
;
−
b
?
L
A
0 0
∙ ∙ ∙
0
b
?
L
−
b
?
L
A
0
∙ ∙ ∙
0
0 b
?
L
−
b
?
L
A
∙ ∙ ∙
0
0 0 b
?
L
. . .
...
...
...
...
. . .
−
b
?
L
A
0 0 0
∙ ∙ ∙
b
?
L
?
R
=
Υ
1
Υ
2
Υ
3
Υ
4
...
Υ
n
−
1
Υ
n
2
R
n
2
,
Υ
i
2
R
n
;
(11)
(
∙
)
?
L
— левый делитель нуля максимального ранга заданной матрицы
(вектора);
(
∙
)
?
R
— правый делитель нуля максимального ранга заданной
матрицы (вектора) [12].
Пусть
Θ
x
— некоторая область в пространстве состояний
R
n
. Как
показано в работах [13, 14], для исследования управляемости системы
(3) можно использовать матрицу, аналогичную матрице в (10)
C
(
x, t
) =
B
(
x, t
)
A
(
x, t
)
B
(
x, t
)
. . . A
n
−
1
(
x, t
)
B
(
x, t
)
.
(12)
Если выполняется условие
8
x
2
Θ
x
: rank C (
x, t
) =
n
(13)
или в другом виде
8
x
2
Θ
x
: det
C
(
x, t
)
6
= 0
,
(14)
тогда, используя методику из [11], можно по аналогии доказать следу-
ющую теорему.
Теорема 2
.
Пусть задана нелинейная нестационарная аффинная
динамическая система
˙
x
(
t
) =
A
(
x, t
)
x
(
t
) +
B
(
x, t
)
u
(
t
)
,
A
(
x, t
)
2
R
n
×
n
, B
(
x, t
)
2
R
n
,
и пусть существует область
Θ
x
R
n
, где выполняется условие
det C (
x, t
)
6
= 0
,
(15)
C
(
x, t
) =
B
(
x, t
)
A
(
x, t
)
B
(
x, t
)
∙ ∙ ∙
A
n
−
1
(
x, t
)
B
(
x, t
)
,
тогда коэффициенты
α
k
=
α
k
(
x, t
)
,
k
= 0
,
1
, . . . , n
−
1
характери-
стического полинома
det (
λI
n
−
A
(
x, t
)) =
λ
n
+
α
n
−
1
(
x, t
)
λ
n
−
1
+
∙ ∙ ∙
+
α
1
(
x, t
)
λ
+
α
0
(
x, t
)
6 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 6
