Keywords
:
Hamilton – Cayley theorem and identity, right and left zero divisors for
matrix, characteristic polynomial coefficients, generalized Krylov problem, band
formula, non-linear affine system, spacecraft.
Согласно теореме Гамильтона – Кэли каждая числовая квадратная
матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению [1].
Пусть
A
2
C
n
×
n
— квадратная матрица с комплексными элемента-
ми и
p
(
λ
) = det (
λI
n
−
A
) =
λ
n
+
α
n
−
1
λ
n
−
1
+
∙ ∙ ∙
+
α
1
λ
+
α
0
(1)
— характеристический полином матрицы
A
. Тогда справедливо тожде-
ство Гамильтона – Кэли
p
(
A
) =
A
n
+
α
n
−
1
A
n
−
1
+
∙ ∙ ∙
+
α
1
A
+
α
0
I
n
= 0
.
(2)
Здесь
I
n
— единичная матрица порядка
n
,
0
— нулевая матрица задан-
ного размера.
В [2, 3] теорема и тождество Гамильтона – Кэли были распростра-
нены на прямоугольные числовые матрицы, в [4, 5] — на блочные
числовые матрицы. В [6, 7] указанные теорема и тождество доказа-
ны для пары коммутирующих матриц, в [8, 9] — для стандартных и
сингулярных 2-D и
n
-D систем. В [10] теорема и тождество Гамиль-
тона – Кэли распространены на нелинейные аффинные динамические
системы.
Пусть задана нелинейная нестационарная аффинная динамическая
система
˙
x
(
t
) =
A
(
x, t
)
x
(
t
) +
B
(
x, t
)
u
(
t
)
,
(3)
где
x
(
t
)
2
R
n
— вектор состояния системы;
u
(
t
)
2
R
— скалярный вход;
A
(
x, t
)
2
R
n
×
n
,
B
(
x, t
)
2
R
n
— дифференцируемые функциональные
матрицы;
R
— поле вещественных чисел.
Введем определение.
Определение 1
[10].
Полином
p
(
λ
) = det (
λI
n
−
A
(
x, t
)) =
=
λ
n
+
α
n
−
1
(
x, t
)
λ
n
−
1
+
∙ ∙ ∙
+
α
1
(
x, t
)
λ
+
α
0
(
x, t
)
(4)
с коэффициентами
α
k
=
α
k
(
x, t
)
, k
= 0
,
1
, ..., n
−
1
,
зависящими от
x
(
t
)
и
t
, называется характеристическим полиномом
системы
(3).
Полиномиальное уравнение
p
(
λ
) = 0
(5)
называется характеристическим уравнением системы
(3).
Справедлива следующая теорема.
4 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 6
