Рис. 1. Область абсолютной
устойчивости (заштрихована)
AL-устойчивых методов инте-
грирования
Параметры алгебраических урав-
нений численного интегрирования
H
i
(
X, PX, h
) = 0
были получены на осно-
ве анализа пяти базовых классов задач для
фундаментальных решений линейных неод-
нородных систем ОДУ. Было показано, что
для достоверного решения всех пяти клас-
сов фундаментальных решений при больших
значениях шага интегрирования (т.е. при не-
высокой математической точности интегри-
рования) численные методы решения систем
ОДУ-ДАУ должны быть AL-устойчивыми,
т.е. абсолютно (А-) устойчивыми строго в левой (L-Left) полуплоскости
комплексной плоскости устойчивости методов численного решения систем
ОДУ-ДАУ [5]. При невысокой математической точности интегрирования шаг
интегрирования может стать таким большим, что не AL-устойчивые методы
интегрирования могут потерять устойчивость для некоторых фундаменталь-
ных решений. Область абсолютной устойчивости AL-устойчивых методов
интегрирования показана на рис. 1.
Следует отметить, что в задачах химической кинетики и небесной меха-
ники алгебраические переменные обычно не нужны, но значения производ-
ных дифференциальных переменных требуется вычислять с такой же точно-
стью, как и значения дифференциальных переменных.
Численное решение систем ОДУ-ДАУ во многих численных методах их
решения сводится к многократному численному решению соответствующих
систем нелинейных алгебраических уравнений (НАУ) и ЛАУ [5]. Высокий
порядок таких систем и необходимость их многократного решения в процес-
се математического моделирования предъявляют жесткие требования к эф-
фективности применяемых численных методов решения систем ОДУ-ДАУ и
особенно ЛАУ.
Для решения жестких систем ОДУ-ДАУ, которым часто соответствует
плохо обусловленная матрица Якоби вдоль траектории решения, рекомен-
дуется использовать неявные методы интегрирования, которые сводятся к
решению систем НАУ на каждом шаге интегрирования. Для получения реше-
ний систем НАУ с гарантированной компьютерной точностью эти системы
следует решать только такими итерационными методами, которые в “точ-
ке” решения системы НАУ сводятся к решению системы ЛАУ с матрицей
Якоби в качестве матрицы коэффициентов такой системы ЛАУ. Если не по-
лучать решения систем НАУ с гарантированной компьютерной точностью,
то траектории решения систем ОДУ-ДАУ могут быть ошибочными. В би-
блиотеке SADEL используется метод Ньютона–Рафсона и решение систем
НАУ и ЛАУ с гарантированной удвоенной компьютерной точностью языка
Си (Си++) на каждом шаге интегрирования, т.е. с гарантированной компью-
терной точностью (15 верных значащих цифр для всех элементов вектора
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 4 25
