На основе (3) для SIMO-систем Аккерманном [4], Бассом [3], а так-
же авторами работы [9] были предложены явные формулы, позволяю-
щие по коэффициентам исходного (2) и заданного характеристическо-
го полинома
det (
λI
n
−
A
+
BK
) =
λ
n
+
λ
n
−
1
∙ ∙ ∙
λ
1
d
n
−
1
...
d
1
d
0
(4)
вычислить регулятор в законе управления с обратной связью
u
=
−
Kx.
(5)
Для MIMO-системы (1) матрица управляемости Калмана
C
=
B AB
∙ ∙ ∙
A
n
−
1
B
2
R
n
×
rn
(6)
является прямоугольной, что не позволяет напрямую воспользовать-
ся методом Крылова для решения задачи вычисления коэффициентов
характеристического полинома и нахождения регулятора.
Известна формула [10], связывающая матрицу управляемости (6)
MIMO-системы (1) и сопровождающую матрицу Фробениуса (матри-
цу
A
в канонической наблюдаемой форме [3]) для полинома (2).
Запишем сопровождающую матрицу Фробениуса
F
=
0 0
∙ ∙ ∙
0
−
a
0
1 0
∙ ∙ ∙
0
−
a
1
0 1
∙ ∙ ∙
0
−
a
2
...
...
. . .
...
...
0 0
∙ ∙ ∙
1
−
a
n
−
1
(7)
в компактном виде
F
=
E
n
−
ae
т
n
.
Здесь
E
n
=
0 0
∙ ∙ ∙
0 0
1 0
∙ ∙ ∙
0 0
...
...
. . .
...
...
0 0
∙ ∙ ∙
0 0
0 0 0 1 0
2
R
n
×
n
;
a
=
a
n
−
1
...
a
1
a
0
2
R
n
;
(8)
e
n
— единичный орт с единицей на
n
-м месте. Тогда существует ра-
венство [10]
AC
=
C
(
F I
r
)
,
(9)
где — символ операции кронекерова произведения матриц.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 3 5
