т.е. матрицы
Ψ
12
,
Ψ
13
и
Ψ
22
инварианты относительно действия обрат-
ной связи (5). Откуда следует, что и матрицы (36) также инвариантны
к обратной связи.
На основе выполненного анализа вместо формулы (35) запишем
(
E
n
−
de
т
n
)
I
r
=
I
n
B
+
I
n
I
n
−
E
n
(
A
−
BK
)
μ
2
.
(40)
Вычтем соответствующие части выражений (26) и (40), в резуль-
тате получим
(
a
−
d
)
e
т
n
I
r
=
I
n
B
+
E
n
BK μ
2
.
Следовательно, запишем цепочку утверждений
(
a
−
d
)
e
т
n
I
r
=
E
n
K μ
2
;
((
a
−
d
)
e
т
n
I
r
)
μ
+
2
=
E
n
K.
(41)
Выражение (41), записанное в виде
E
n
K
= ((
a
−
d
)
e
т
n
I
r
)
μ
+
2
,
(42)
и есть искомая явная формула регулятора.
Отметим, что множество регуляторов
{
K
}
, удовлетворяющих
условиям задачи обеспечения заданного характеристического полино-
ма MIMO-системы (1), в рассматриваемом случае порождается левым
делителем нуля
μ
?
L
2
матрицы
μ
2
. Другими словами, при любой невы-
рожденной матрице
T
подходящего размера справедливо тождество
(
a
−
d
)
e
т
n
I
r
=
E
n
K
+
Tμ
?
L
2
μ
2
.
Если произведение
Tμ
?
L
2
наделить структурой кронекерова произ-
ведения матриц
E
n
K
, т.е.
E
n
f
(
Tμ
?
L
2
)
, тогда вместо формулы (42)
можно записать условие параметризации множества регуляторов:
E
n
K
+
f
(
Tμ
?
L
2
) = ((
a
−
d
)
e
т
n
I
r
)
μ
+
2
.
Таким образом, в настоящем исследовании представлен подход к ана-
лизу и синтезу линейной динамической системы со многими вхо-
дами и многими выходами (MIMO-системы) на основе ленточных
формул.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Андреев Ю.Н.
Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука,
1976. 424 c.
2.
Уонем М.
Линейные многомерные системы управления: геометрический под-
ход. М.: Наука, 1980. 376 c.
3.
Kailath T.
Linear Systems. N.J: Prentice Hall. Englewood Cliffs, 1980. 682 p.
4.
Дорф Р.
,
Бишоп Р.
Современные системы управления. М.: Лаборатория Базовых
Знаний, 2004. 831 c.
5.
Мисриханов М.Ш.
Инвариантное управление многомерными системами. Алге-
браический подход. М.: Наука, 2007. 284 c.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 3 13
