MIMO-систем (Multiple Inputs Multiple Outputs Systems), т.е. систем со
многими входами и выходами, широко используется метод Крылова. К
таким задачам относятся [1–5] вычисление сбалансированной реализа-
ции передаточной матрицы MIMO-системы в пространстве состояний;
редукция и декомпозиция модели этой системы в пространстве состо-
яний; определение управляемых и наблюдаемых подпространств; ста-
билизация с помощью обратной связи по элементам состояния; синтез
управления, обеспечивающего инвариантность системы к внешним
возмущениям и т.д.
Рассмотрим полностью управляемую линейную MIMO-систему
˙
x
(
t
) =
Ax
(
t
) +
Bu
(
t
)
,
(1)
где
x
(
t
)
2
R
n
— вектор состояния;
u
(
t
)
2
R
r
— векторный вход;
R
—
множество действительных чисел.
Корни характеристического полинома
det (
λI
n
−
A
) =
λ
n
+
λ
n
−
1
∙ ∙ ∙
λ
1
a
n
−
1
...
a
1
a
0
,
(2)
где
I
n
— единичная матрица порядка
n
;
λ
2
C
— комплексное число,
определяющее устойчивость MIMO-системы (1).
В первоначальном виде метод Крылова предназначен для решения
задачи нахождения коэффициентов характеристического полинома ма-
трицы (2) по значениям ее элементов. С позиции алгебры эта задача
имеет решение, если
n
векторов
A
n
−
1
b, . . . , A, b
образуют полный ба-
зис в множестве
R
n
. Такой базис всегда существует (всегда найдется
подходящий вектор
b
)
, если характеристический полином (2) совпада-
ет с минимальным характеристическим полиномом.
Матрицы, удовлетворяющие приведенному ниже условию, полу-
чили название циклических матриц [6]. Отметим, что линейные (ци-
клические) подпространства, образованные векторами
A
k
−
1
b, . . . , A,
b
(
k < n
)
,
span
A
k
−
1
b, . . . , A, b , k < n
получили название подпространств Крылова (Krylov Subspaces) [7].
С позиций современной теории управления пара
(
A, b
)
с цикличе-
ской матрицей
A
называется полностью управляемой и соответствует
линейной SIMO-системе (Single Input Multi Output System), т.е. си-
стеме с одним входом и многими выходами. В этом случае матрица
управляемости Калмана
b Ab . . . A
n
−
1
b
2
R
n
×
n
(3)
является квадратной и обратимой.
4 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 3
