Доказательство
.
Согласно теореме Фреше функционал
y
(
t
)
мо
-
жет быть представлен в виде предела последовательности регулярных
функциональных полиномов
,
например вполне непрерывных полино
-
мов Вольтерра
.
Тогда этот функционал можно записать в виде ряда
Вольтерра
y
(
t
)=
ϕ
н
{
ξ
(
t
)
}
=
=
∞
X
k
=1
t
Z
0
. . .
t
Z
0
g
k
(
t, τ
1
, . . . , τ
k
)
k
Y
r
=1
ξ
(
τ
1
)
. . . ξ
(
τ
r
)
dτ
1
. . . dτ
r
,
(3)
где
g
k
(
.
)
—
многомерная импульсная характеристика
(
ядро
)
инте
-
грального преобразования для
k
-
го члена ряда
.
Каждое
k
-
е слагаемое в ряде
(3) —
это регулярный однородный
функционал вида
y
k
(
t
) =
t
Z
0
. . .
t
Z
0
g
k
(
t, τ
1
, τ
2
, . . . , τ
k
)
k
Y
r
=1
ξ
(
τ
1
)
. . . ξ
(
τ
r
)
dτ
1
. . . dτ
r
.
(4)
Случайный процесс
y
(
t
)
является марковским
,
если для каждого
слагаемого в ряде
(3),
т
.
е
.
для функционала
(4),
корреляционная функ
-
ция является экспоненциальной
:
¿
0
y
k
(
t
1
)
0
y
k
(
t
2
)
À
=
t
1
Z
0
. . .
t
1
Z
0
t
2
Z
0
. . .
t
2
Z
0
g
k
(
t
1
, τ
11
, τ
12
, . . ., τ
1
k
)
g
k
(
t
2
, τ
21
, . . ., τ
2
k
)
×
×
*
k
Y
r
=1
0
ξ
(
τ
11
)
...
0
ξ
(
τ
1
r
)
k
Y
r
=1
0
ξ
(
τ
21
)
. . .
0
ξ
(
τ
2
r
)
+
dτ
11
. . . dτ
rr
6
Me
−
α
|
t
1
−
t
2
|
,
(5)
где
M
и
α
—
некоторые постоянные
.
Как показано в работе
[6],
для постоянного сигнала
z
(
t
) =
E
сгла
-
живающего нелинейного оператора и БГШ в ряде
(3)
ядра являются
сепарабельными и вторые центральные моментные функции предста
-
вляют собой суперпозицию экспоненциальных функций
.
Пусть
s
(
t, ~λ
)
—
детерминированная функция
,
определенная на
интервале
t
∈
[0
, T
]
,
с векторным неизвестным параметром
~λ
∈
Λ
,
Λ
—
гильбертовое пространство
(
условия представления случайного
процесса
z
ij
(
t
)
в виде квазидетерминированного сигнала
s
(
t, ~λ
)
обо
-
снованы в работе
[4]).
Очевидно
,
что для произвольных детерминиро
-
ванных функций
s
(
t, ~λ
)
корреляционные функции функционалов ряда
(3)
будут иметь более сложный вид
:
¿
0
y
k
(
t
1
)
0
y
k
(
t
2
)
À
∗
≈
f
∗
(
|
t
1
−
t
2
|
)
M
∗
e
−
α
∗
|
t
1
−
t
2
|
,
36 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Приборостроение
". 2004.
№
4
