Представим матрицу полного ранга
А
из условий
(4)
в виде двух
блоков
N
и
В
:
A
= [
N
;
B
]
,
где
N
состоит из небазисных столбцов
А
,
а
В
—
из базисных
[3].
Аналогично
,
векторы
~c
и
~x
состоят из базисных
и небазисных координат
:
~c
= (
~c
N
, ~c
B
)
,
~x
= (
~x
N
, ~x
B
)
.
Следовательно
,
имеем
A~x
=
~b,
N~x
N
+
B~x
B
=
~b,
B
−
1
N~x
N
+
B
−
1
B~x
B
=
B
−
1
~b,
~x
B
=
B
−
1
~b,
поскольку
~x
N
= 0
.
Таким образом
,
столбец свободных членов
~b
+ ∆
~b
на любой итерации может быть получен умножением матрицы
B
−
1
на
вектор
~b
в исходной постановке
(4).
Вектор
В
формируется из тех столб
-
цов исходной матрицы
А
из системы
(4),
номера которых на данной
итерации определяют базисные переменные
.
С другой стороны
[3],
j
-
й
столбец матрицы
А
для данной итерации имеет вид
~y
j
=
B
−
1
~a
j
,
где
~a
j
—
j
-
й столбец в исходной матрице
А
из системы
(4);
Y
—
матри
-
ца
А
после преобразований
.
Столбцы матрицы
В
−
1
—
это столбцы тех переменных текущей ма
-
трицы
Y
,
которые были базисными в исходной таблице
(
как правило
,
это последние
m
столбцов
),
поскольку
Y
=
B
−
1
A
,
а столбцы матри
-
цы
А
,
относящиеся к базису исходной таблицы
,
образуют единичную
матрицу
.
Матрица
В
−
1
всегда присутствует в процессе решения
.
Ис
-
ходный вектор
~b
и неопределенность его значения
∆
~b
задаются
.
Таким
образом получают новый столбец свободных членов
.
Если исходный
вектор равен
~b
+ ∆
~b
,
то новый столбец свободных членов имеет вид
B
−
1
(
~b
+ ∆
~b
) =
B
−
1
~b
+
B
−
1
∆
~b
=
~x
B
+
B
−
1
∆
~b.
Поскольку в столбце свободных членов оптимального решения не
должно быть отрицательных элементов
,
то условие стабильности при
-
мет вид
~x
B
+
B
−
1
∆
~b
>
0
.
Пример
.
Рассмотрим описанный пример в предположении
,
что ис
-
ходный вектор правой части
~b
=
{
350
,
240
,
150
,
−
110
,
−
1400
}
име
-
ет неопределенность
∆
~b
=
{
∆
b
1
,
∆
b
2
,
∆
b
3
,
∆
b
4
,
∆
b
5
}
,
т
.
е
.
необходи
-
мо рассматривать вектор
{
350 + ∆
b
1
,
240 + ∆
b
2
,
150 + ∆
b
3
,
−
110 +
+ ∆
b
4
,
−
1400 + ∆
b
5
}
.
Элементы матрицы
В
−
1
—
это элементы пяти
последних столбцов симплекс
-
таблицы оптимального решения
[6]:
60 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Приборостроение
”. 2003.
№
4
