где
~x
—
вектор исходных и дополнительных
(
слабых
)
переменных
;
А
—
матрица размерности
m
×
n
,
расширенная за счет столбцов до
-
полнительных переменных
,
вводимых для преобразования неравенств
(2)
в равенства
;
~b
—
вектор правых частей
(
объединяет векторы
~b
1
и
~b
2
);
~c
—
вектор коэффициентов целевой функции
.
Исследуем устойчивость точки оптимального решения задачи
(1)–(3)
при следующих условиях
:
1)
неопределенность или погрешность содержится только в коэф
-
фициентах
~c
целевой функции
;
2)
неопределенность или погрешность содержится только в элемен
-
тах вектора
~b
;
3)
неопределенность или погрешность содержится только в элемен
-
тах матриц
А
1
и
А
2
(
т
.
е
.
в элементах матрицы
А
,
за исключением эле
-
ментов
,
относящихся к дополнительным переменным
).
Алгоритмы учета других комбинаций неопределенностей основы
-
ваются на алгоритмах для этих случаев
.
Будем в дальнейшем полагать
,
что задача линейного программиро
-
вания решается с помощью симплекс
-
метода
[1, 3, 6].
Неопределенность в коэффициентах целевой функции
.
Точка
оптимума в симплекс
-
методе определяется условием
c
j
−
z
j
6
0
,
z
j
= (
~c
B
~a
j
)
,
j
= 1
,
2
, . . . , n
,
где
~c
B
—
вектор элементов
c
j
,
относя
-
щихся к базисным переменным
;
~a
j
—
j
-
й столбец матрицы
А
[3].
Значение целевой функции имеет вид
z
=
~c
B
~b
.
Пусть вместо
c
j
имеем значение
c
j
+∆
c
j
,
j
= 1
,
2
, . . . , n
;
тогда усло
-
вие оптимума будет определяться величиной
c
j
+ ∆
c
j
−
((
~c
B
+ ∆
~c
B
)
~a
j
) =
= (
c
j
−
(
~c
B
~a
j
)) + (∆
c
j
−
(∆
~c
B
~a
j
))
, j
= 1
,
2
, . . . , n.
(5)
Невыполнение условия оптимальности зависит от конкретных зна
-
чений последнего слагаемого в выражении
(5):
если всегда
∆
c
j
−
−
(∆
~c
B
~a
j
)
6
0
,
j
= 1
,
2
, . . . , n
,
то оптимальное решение не изменяет
-
ся
;
при наличии хотя бы одного условия
∆
c
j
−
(∆
~c
B
~a
j
)
>
0
возможно
изменение оптимального решения
.
Система неравенств
(
c
j
−
(
~c
B
~a
j
)) + (∆
c
j
−
(∆
~c
B
~a
j
))
6
0
, j
= 1
,
2
, . . . , n,
(6)
определяет множество значений элементов
∆
c
j
,
j
= 1
,
2
, . . . , n
(
включа
-
ющее также элементы вектора
∆
~c
B
),
при которых условия оптимума в
данной точке выполнены
.
56 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Приборостроение
”. 2003.
№
4
