Асимптотическая эквивалентность алгоритмов максимизации от-
ношения сигнал/ помеха и ограниченного минимума выходной мощно-
сти дает возможность определить оптимальный весовой вектор путем
ограничения минимизации выходной мощности
σ
(
ω
)
при достаточно
большом значении
N
. Предполагается, что матрицы
R
υ
и
zz
H
опреде-
лены. Рассмотрим матрицу, выполняющую операцию проецирования
на пространство, стянутое вектором
z
:
P
z
=
zz
H
z
H
z
.
Отметим, так как
z
H
z
является следом матрицы
zz
H
, то
P
z
можно по-
лучить из
zz
H
. Градиентный вектор функции
σ
(
ω
)
можно определить
как
g
σ
(
ω
) = R
υ
ω.
C учетом ограничения
ω
H
z =
c
, методом наискорейшего спуска не-
льзя обеспечить сходимость к вектору
g
σ
(
ω
)
. Определим
˜g
σ
(
ω
)
как
компоненту
g
σ
(
ω
)
, которая ортогональна вектору
z
:
˜g
σ
(
ω
) = (I
−
P
z
)R
υ
ω.
Следует отметить, что вектор
˜g
σ
(
ω
)
однозначно определяется
P
z
и
R
υ
.
Видно, что правило
ω
H
z =
c
не ограничивает сходимость к вектору
˜g
σ
(
ω
)
, таким образом, можно записать адаптивный алгоритм, который
сходится и решает проблему ограничения минимизации.
Алгоритм 1.
Первый алгоритм итеративно решает проблему мини-
мизации при условии, что
μ
выбирается достаточно малой величиной.
Для
j
≥
1
,
μ >
0
и
ω
(0)
H
z =
c
ω
(
j
) = [I
−
μ
(I
−
P
z
)R
υ
]
ω
(
j
−
1)
.
Предположим, что
μ
выбирается исходя из правила
0
< μ <
2
λ
max
,
где
λ
max
— максимальное собственное значение матрицы
(I
−
P
z
)R
υ
,
тогда
lim
j
→∞
ω
(
j
) =
z
H
ω
(0)
z
H
R
−
1
υ
z
˜
ω
N
.
Более того, при возрастании
j σ
(
ω
(
j
))
↓ |
z
H
ω
(0)
|
2
/
z
H
R
−
1
υ
z
. Пока-
жем, что данный алгоритм является численно нестабильным даже при
условии ограничений, введенных на величину
μ
. Для стабилизации
алгоритма можно ввести дополнительные ограничения на вектор
ω
(
j
)
для каждой итерации, однако, во время некоторых итераций может не
выполняться ограничение
ω
(
j
)
H
z =
c
. Для этого, вместо рассмотре-
ния проблемыминимизации выходной мощности, определим вектор
58 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2007. № 1
